Umformung einer komplexen Menge

Question

Zeigen und zeichnen Sie die Äquivalenz

{z∈C: |z|+Re(z)<=1} <=> Im(z)=+- sqrt(1-2Re(z))

Kann mir Jemand sagen wie man das hinbekommt?

Es soll kein Beweis werden, sondern man soll nur die Regeln der komplexen Zahlen anwenden, bzw. deen Umformungen.

Answer 1

setze 

$$ z=Re(z)+Im(z) $$

und stelle nach Im(z) um.

Aber oben stimmt was bei dir nicht, da sollte rechts auch ein Ungleichheitszeichen irgendwo stehen.

Comments

Ok, also es würde dann ja dort stehen

Re(z)^2+Im(z)^2+Re(z)<=1

Im(z)^2<=1- Re(z)^2-Re(z)

Und dann würde man ja die Wurzel ziehen, aber dann kommt man ja nicht auf den Ausdruck.

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Es ist $$ |z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2} $$

Damit funktioniert es ;)

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Ach ja stimmt

Dann muss ich quadrieren und dann steht dort

Im(z)^2+2Re(z)^2<=1

Im(z)^2<=1-2Re(z)^2

Dann kommt aber erneut ein Problem und zwar

Im(z)= +- sqrt(1-2Re(z)^2)

Das ^2 löst sich ja nicht auf, denn man darf ja aus so einer Summen keine Wurzel ziehen.

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$$ \sqrt{x^2+y^2}+x<=1\\ \sqrt{x^2+y^2}<=1-x\\x^2+y^2<=(1-x)^2\\y^2<=(1-x^2)-x^2=1+x^2-x^2-2x=1-2x\\ $$

x ist Realteil, y Imaginärteil

Jetzt noch eine draufwurzeln und fertig.