Lieber Werner; dein Kommentar hat mich sehr gefreut. Du appellierst an das, was wir uns " vorstellen " können. Vielleicht ein paar Worte zu dem wissenschaftlichen Etos des Matematikers. Würde sich ein Matematiker darauf einlassen, was man sich vorstellen kann, gäbe es keine vierte Dimension - denn die kann sich bekanntlich niemand vorstellen. Von dieser Grunderfahrung heraus ist die Matematik umgekehrt bemüht, auch z.B. die Geometrie des Alltags logisch axiomatisch widerspruchsfrei zu definieren OHNE ZUHILFENAHME DER ANSCHAUUNG .
Und das brauchst du. Stell dir vor, ein Computerprogramm soll entscheiden, ob ein gegebener Punkt P innerhalb eines gegebenen Dreiecks D liegt oder außerhalb. Der Computer ist ein " toter " Facbidiot, der keinerlei Anschauung besitzt von irgendetwas. Der hilft dir nur dann, wenn du im Besitz einer matematischen Zahlenformel bist, deren Ergebnis zwischen Innen und Außen entscheidet - also was ein " anschaulicher " Mensch so nie machen würde.
Aus gegebenem Anlass fühle ich mich gedrängt, mich gegen die Psychologie abzugrenzen. Da gibt es nämlich nicht wenige Psychiater, die das Phänomen der ===> Synästesie für ein Fake halten - weil sie selber sich SO ETWAS NICHT VORSTELLEN KÖNNEN .
Als Matematiker kann ich da nur antworten: Was ich mir subjektiv vorstellen kann oder will, ist kein Maßstab für irgendetwas. Es geht hier z.B. um das kleine Lieschen, das auf die Frage der Lehrerin
" Was ist 47 + 11? " spontan antwortet " Türkis "
" Sagen Sie; Sehen Sie die 2 eigentlich konkret wie mit roter Farbe auf dem Papier gedruckt? Oder haben Sie da nur eine abstramte Assoziation von Rot? "
" Zu einem Drittel ist es rot gedruckt und zu einem Drittel nur so eine Assoziation. Und schließlich zu einem Drittel ist es etwas noch anderes. Genau dafür fehlt mir das Wort; und dieses letzte Drittel. Das ist ganz offensichtlich der Grund, warum Sie nie verstehen werden, was ich meine ... "
( Dass es Synästesie tatsächlich gibt, wurde mittels MRT bewiesen - mehr kannst du nie hoffen. )
Einerseits ist die Matematik sehr tolerant. Du kannst definieren, was du willst - du müsstest denn sagen, was das sein soll, eine Reihe aus überabzählbar vielen Gliedern. Gewisse Einschränkungen gibt es schon. Auch Matematiker haben Gefühle ===> Damasio ===> Amygdala . Man muss also das Gefühl haben, dass deine Metode noch etwas mit Addieren, mit Summation zu tun hat.
Matematiker tun immer so großartig, als wenn jeder definieren könnte, was er will. Schön; schreibe ich einem Prof
" Ich habe eine neue Definition. Eine natürliche Zahl heiße schön, wenn sie gleichzeitig durch 4 711 und durch 123 456 zu teilen geht. "
Weißt du, was der mir antwortet?
" Das können Sie tun, wenn Sie belegen, dass Ihr Begriff von Schönheit Frucht bringend ist für die Teorie. "
Das genau leisten nämlich die großen Klassiker wie Gruppen-und Funktionenteorie. Ihre Definitionen und Axiome kommen ( scheinbar ) schwach; unbestimmt daher; und das Geschäft des Matematikers ist dann zu beweisen, dass eine ganze Tiefendimension, ein ganzes Universum in ihnen verborgen ist.
Also eines muss klar sein. Eine Vereinigung von ÜBERABZÄHLBAR vielen Nullmengen - diese Operation ist wohl definiert ! - hat in der Regel durchaus ein positives Maß wie 1 m - das war ja gerade die Paradoxie. Das wirst du mit keiner Definition ändern.
Du müsstest dich mal auseinander setzen mit der ===> Lebesgueteorie ( Als Physiker behaupte ich nicht, da mehr drauf zu haben als ein paar Grundkenntnisse für den Hausgebrauch. )
Lebesgue geht aus von einer ===> Partition einer Menge M in ABZÄHLBAR viele Teilmengen oder Modellmengen ( können auch unendlich viele sein ) Dann sagt er, das Maß von M ist die Summe ( oder unendliche Reihe ) der Maße seiner Untermengen.
Jetzt gibt es aber allgemeinere Mengen; die lassen sich nicht schreiben als Vereinigung der Modellmengen. Da führt er jetzt einen Grenzübergang durch, eben das Lebesgue-Integral. Und so weit ich das mitgekriegt habe, ist das ein harter Kampf, nur zu beweisen, dass dieser Integralbegriff konsistent, also widerspruchsfrei ist.
Aber mit deiner Anregung sprichst du etwas an. Wirkliche Genies wie Pierre de Fermat glänzen ja weit mehr durch ihre unbewiesenen Vermutungen als durch ihre Erfolg reichen Beweise.
Was ich auf dem Herzen habe, sind absolut konvergente Reihen - die sind auch unbedingt konvergent. Damit meint man, dass der Reihenwert unabhängig ist von einer PERMUTATION der ganzen Reihenglieder.
Ich appelliere hier nochmal an den Begriff der Ordinalzahl.
Warum nur scheuen die Matematiker Ordinalzahlen wie der Teufel das Weihwasser? Neulich las ich übrigens, die KARDINALITÄT oder Mächtigkeit einer Menge ist ihre kleinst mögliche Ordinalzahl. also habt euch nicht so ...
Die Ordinalität einer unendlichen Reihe will ich ihre Länge nennen; von einem naiven Standpunkt hätten unendliche Reihen Länge w
Siehst du; w ist die kleinste Länge von |N und damit gleichzeitig w = Alef_0
Jetzt mein Problem; warum addieren wir nicht zwei unendliche Reihen
a0 + a1 + a2 + a3 + ... ( unendlich viele ) + b0 + b1 + b2 + b3
Ich könnte also beispielsweise sagen b0 = a_w+1
Ein Verfahren, Reihen zu addieren, das praktisch zu einer Reihe der Länge w * 2 führt. Frage: Lässt sich für absolut konvergente Reihen ein derartiger Grenzwertbegriff definieren?
Weil wenn ich unendlich viele Glieder von ganz Hinten nach vorne hole, dann ist das keine Permutation mehr:
a0 + b0 + a1 + b1 + ,,,, ( 1 )
Meine Vermutung: Absolut konvergente Reihen überleben sogar diese Manipulation.
Meine Anregung beziehe ich aus dem Elementarunterricht. Was ist
.333333333 ..... ( 2 )
Früher sagte man den Schülern; nimm Reihe ( 1 ) Mal 10
3.3333333 ..... ( 3 )
und dann subtrahiere Reihe ( 2 ) Aber wohin hänge ich dennReihe ( 2 ) ,bevor dass ich sie subtrahiere? Hängt sie nicht ursprünglich hinter ( 3 ) ?
