Eine Menge von Zahlen, die Vielfache aller natürlichen Zahlen beinhaltet, sind die ganzen Zahlen!?

Question

Aufgabe:

ich habe folgende Frage: Gibt es einen Beweis dafür, dass eine Menge von Zahlen, in der es für jede natürliche Zahl ein Vielfaches gibt genau die Menge der natürlichen Zahlen ist? Und wenn ja, wie sieht der aus?

Problem/Ansatz:

Da es um natürliche Zahlen geht, könnte ich mir vorstellen, dass man mit Induktion weiter kommt. Allerdings weiß ich nicht, wie das konkret aussehen könnte. Ich denke eigentlich mal, dass es für diese Aussage bereits einen Beweis gibt, habe ihn allerdings nicht gefunden. Vielen Dank für jede Hilfe!

Comments

eine Menge von Zahlen, in der es für jede natürliche Zahl ein Vielfaches gibt

Ohne Quantoren kann das sehr Vieles bedeuten und dementsprechend vielfältig kann die Menge ausfallen.

Bsp :
Die Menge der geraden Zahlen enthält für jede natürliche Zahl ein Vielfaches, nämlich ihr Doppeltes.
Hier war das Vielfache immer dasselbe, aber auch die Menge der Quadratzahlen enthält für jede natürliche Zahl ein Vielfaches nämlich zu n das n-fache.

Erst wenn du sagst, dass die Menge für jede natürliche Zahl alle ihre Vielfachen beinhalten soll, dann ist die gesuchte Menge wieder ℕ, denn dann müssen ja alle Vielfachen von 1 vorhanden sein oder du argumentierst, dass dann ja alle 1-fachen aller natürlichen Zahlen vorkommen müssen, also jedenfalls ganz ℕ.

Answer 1

Es gibt einen Beweis dafür, dass eine Menge von Zahlen, in der es für jede natürliche Zahl ein natürliches Vielfaches gibt genau die Menge der natürlichen Zahlen ist. Schon für rationale Vielfache gilt das i.A. nicht.

1 ist eine natürliche Zahl. Die natürlichen Vielfachen von 1 ergeben insgesamt die Menge der natürlichen Zahlen. Mit jeder anderen natürlichen Zahl ist auch ihr natürliches Vielfaches eine natürliche Zahl.