Wie berechne ich eine e-Funktion (mit Parameter, Integral, Extremwert, ...)

Question

Hallo und Liebe Community und Helfer,

ich habe wieder ein kleines großes Problem mit einer Hausaufgabe. Leider war ich nun auch sehr lange krank und komme deshalb mit dem aktuellen Arbeitsmaterial nicht klar. Ich bitte euch/ Sie um Hilfe.

Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie: Für 0 < r < 3 schneiden sich K und Cr in einem Punkt Pr, der im ersten Feld liegt.
Cr schließt dann mit den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-Achse durch Pr (alle r sind tiefgestellt, wusste nun nicht wie man einen Buchstaben oder eine Zahl tief stellt) eine Fläche mit dem Inhalt A(r) ein. Für welchen Wert von r wird A(r) maximal?

gegebene Angaben: f(x) = (4-e^x) * e^x     ; x E IR. Ihr Schaubild sei K

gr(x) = r * e^x     ; x E IR. Ihr Schaubild sei Cr (in dem Fall, sprich gr und Cr = r wieder tiefgestellt.)


Ihr wärt mir wirklich sehr große Hilfe, bitte!

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Soll ich sonst noch ein Foto von dem Arbeitsbogen einfügen oder ist es verständlich so weit?

Answer 1

Schnittpunkt P_r :   f(x) = g_r(x)

(4 - e^x)·e^x = r·e^x   | : e^x

 4 - e^x  =  r 

e^x = 4 - r    | ln(...)

x = ln(4 - r)

Graphen für r = 2:

Gesuchte Fläche A_r :

$$ A_r=\int_{0}^{4-ln(r)} \! r·e^x \, dx=[r·e^x]_0^{ln(4-r)}= r·(4-r)-r=3r-r^2$$$$ A_r ' = 3-2r = 0 \text{ }\text{ }→ \text{ }\text{ } r=1,5\text{ } \text{ }(für\text{ } maximale \text{ }Fläche)$$Gruß Wolfgang

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Vielen Dank, Wolfgang. Du hast mir damit sehr geholfen.