Berechnung von Eigenvektoren mit 3 Beispielen

Question

Ich verstehe nicht, wie man aus den einzelnen Gleichungen den Eigenvektor erhält? Hier 3 Beispiele:

Beispiel1:
-x₁ + 3x₂ = 0 ergibt e_x1 (3;1)^T
9x₁ + 3x₂ = 0 ergibt e_x2 (1;-3)^T

Beispiel 2:
-x₁ -x₂ = 0 ergibt e_x1 (1;-1)^T
x₁ + x₂ =0 ergibt e_x2 (1;1)^T

Beispiel 3:
-x₁ -3x₂ = 0 ergibt e_x1 (-3;1)^T
9x₁ -3x₂ = 0 ergibt e_x2 (1;3)^T

Die oben genannten Ergebnisse stimmen soweit. Aber ich weiß einfach nicht, welches Schema ich hier anwenden soll, damit ich immer auf diese Einheitsvektoren komme. Ich versuche mal meine derzeitige, für mich logische Denkweise, aufzuschreiben:

Bsp. 1:
-x₁ + 3x₂ = 0  -> x₁=3x₂
für x₁ eingesetzt gilt: -3x₂ + 3x₂ = 0 -> da kein Wert vorhanden, setze ich 1 ein. Somit ex1 (3;1)^T OK!

x₁ + x₂ =0 ->x₁=-x₂ 
wenn ich also für x₁=1 einsetzte müsste x₂ = -1 sein. Ist es aber nicht!

Bsp. 2:
-x₁ -x₂ = 0 -> x₁=-x₂
für x₁ eingesetzt gilt: +x₂-x₂=0 -> wenn ich für x₂ = 1 einsetze, kommt man auf 0. Wenn ich nun x₂ = 1 wähle, müsste die Gleichung dann -x₁-1=0 sein. Somit müsste x₁ = -1 sein. Dies stimmt aber auch nicht!

x₁ + x₂ =0  -> x₁=x₂:
Wenn ich für x₁ = 1 einsetze, dann ergibt x₂ =1. OK!

Bsp. 3:
-x₁-3x₂ = 0 -> x₁= -3x₂ 
wenn ich dies für x₁ einsetze, gilt: +3x₂ - 3x₂ = 0; Für x₂ = 1 stimmt das Ergebnis. Dies setzte ich in die Gleichung ein: -x₁-3=0 ->x₁ = -3. OK!

9x₁-3x₂ = 0 -> x₁ = (1/3)x₂
wenn ich dies für x₁ einsetze, erhalte ich 3x₂-3x₂ = 0. Für x₂ = 1 stimmt das Ergebnis. Aber auch hier stimmt die Lösung nicht.

Ich hoffe mir kann jemand sagen, was ich falsch mache.

Comments

Bei Bsp. 1: bin ich in der Zeile verrutscht. Dort soll es heißen:

9x₁ + 3x₂ = 0 -> x₁= (-1/3)x₂

wenn ich dies für x₁ einsetze, erhalte ich -3x₂-3x₂ = 0. Für x₂ = 1 stimmt das Ergebnis. Aber auch hier stimmt die Lösung nicht.

Answer 1

Ich bin gerade darauf gekommen. Die Lösung ist, die Zahlen einfach banal einzusetzen, damit die Gleichung 0 wird. Da muss man nicht groß umstellen etc.

Beispiel1:
-x₁ + 3x₂ = 0 -> hier muss man einfach schauen, wie man durch Einsetzen den Term auf Null bringt. Gibt man z.B. für x₁ = 1 ein, erhält man die Gleichung -1+3x₂ = 0 Somit wäre x₂ = -1/3.

-> ex₁ = (1; -1/3)^T  -> ein Vielfaches davon (für Schreibweise ohne Bruch) ist dann (3; -1)^T was richtig ist.

9x₁ + 3x₂ = 0 -> wenn man hier für x₁ =1 einsetzt, erhält man für x₂ den Wert -3. Und auch das stimmt.  -> ex₂ = (1; -3)^T

Beispiel 2:
-x₁ -x₂ = 0 -> wenn man hier für x₁ = 1 einsetzt, erhält man für x₂ = -1, was auch stimmt.

x₁ + x₂ =0 -> hier für x₁ = 1 eingesetzt bedeuted für x₂ = -1. Hier muss sich mein Prof. verrechnet haben. Das richtige Ergebnis müsste (1; -1)^T sein.

Abschließend:
Also generell kann man bei solchen Termen für x₁ immer 1 setzen, und schauen was bei x₂ rauskommt. Allein durch genaues hinsehen kann man bei einfachen Gleichungen erkennen, was für x₁ und x₂ gesetzt werden muss, damit der Term Null wird. Anschließend kann ein beliebiges Vielfaches gebildet werden. Also aus (1;2)^T -> kann Vielfaches z.B. (2;4)^T oder (4;8)^T gebildet werden. Alle 3 Ergebnisse können gewählt werden bzw. sind korrekt.