lass Dich von diesen Summenzeichen nicht verwirren. Dass die Ungleichung für \(n=1\) aufgeht, sollte klar sein. Jetzt einfach den Fall für \(n+1\) mal ausführlich hinschreiben:
$$\left( \sum_{i=1}^{n+1} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{a_i}\right) \\ \space= \left( \sum_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1} \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i} + \frac{1}{a_{n+1}}\right) \\ \space = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right) + \frac{1}{a_{n}}\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) + a_{n+1} \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right) + 1$$
Setze nun
$$\frac{1}{a_{n+1}}\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) = x$$
und
$$a_{n+1} \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right) =y$$
dann geht es mit dem Produkt von oben weiter mit
$$\space = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right) + x + y + 1$$
nun ist \(x + y \ge 2\sqrt{x \cdot y}\) und es gilt nach Induktionsvoraussetzung \(x \cdot y \ge n^2 \) bzw. \(\sqrt{x \cdot y} \ge n\), da alle \(a_i>0\). Also ist das Produkt von oben
$$\space \ge n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$$
q.e.d.
