Gegenseitige Lage untersuchen und gegebenfalls Abstand beziehungsweise Schnittgerade berechnen

Question

Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen und bestimmen Sie gegebenfalls den Abstand beziehungsweise die Schnittgerade.

ich verstehe nicht wie man auf das rotmarkierte kommt also bitte um Hilfe.

Answer 1

Offensichtlich sollte das Kreuzprodukt der Normalenvektoren genommen werden.

[-1, -1, -2] ⨯ [1, 1, 2] = [0, 0, 0]

Fazit. Es wurde murks berechnet. Weiterhin ist es total unsinnig, da man sieht, dass die Normalenvektoren linear abhängig sind.

Lustig ist auch noch das Der Lehrer dann offenbar auf einen Schnittpunkt (eher Schnittgerade kommt) und dann trotzdem noch einen Abstand berechnen will. Wer das den Schülern so vormacht muss sich nicht wundern wenn die Schüler nix kapieren.

So sehe meine Rechnung aus

a)
E1: x = [6, 2, 8] + r·[-1, 1, 0] + s·[1, 1, -1]
E2: x = [1, 0, 2] + r·[0, 2, -1] + s·[-1, 1, 0]

n1 = [-1, 1, 0] ⨯ [1, 1, -1] = [-1, -1, -2] = - [1, 1, 2]
n2 = [0, 2, -1] ⨯ [-1, 1, 0] = [1, 1, 2]

Die Normalenvektoren sind linear abhängig. Damit sind die Ebenen parallel oder identisch.

Wir bestimmen den Abstand
E1: x + y + 2·z = [6, 2, 8]·[1, 1, 2] = 24
d(P, E1) = |x + y + 2·z - 24| / √(1^2 + 1^2 + 2^2)
d(P, E1) = |1 + 0 + 2·2 - 24| / √(1^2 + 1^2 + 2^2) = 7.757

Die beiden Ebenen haben einen Abstand von ca. 7.757 LE.

Comments

d(P, E1) = |x + y + 2·z - 24| / √(1^{2} + 1^{2} + 2^{2})
d(P, E1) = |1 + 0 + 2·2 - 24| / √(1^{2} + 1^{2} + 2^{2}) = 7.757

Wie hast du die 1 und 0 rausbekommmen bzw. genommen könntest du mir das genauer erklären

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Das ist ein Punkt der Ebene E2. Um genauer zu sein der Ortsvektor von E2

[1, 0, 2]

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MC hat  für x,y,z die Koordinaten des Stützvektors [1, 0, 2] des Aufpunkts von E₂ eingesetzt, weil dessen Abstand von E₁ der Abstand der beiden parallelen Ebenen ist.

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Ok hab es verstanden danke euch beiden 

Answer 2

Hallo Klaus,

> ... ich verstehe nicht wie man auf das rotmarkierte kommt

Gar nicht :-) : 

die beiden Normalenvektoren   \(\vec{n}\)₁  =   [-1, 1, 0] ⨯ [1, 1, -1]  =  [-1, -1, -2] 

                                          und  \(\vec{n}\)₂  =   [0, 2, -1] ⨯ [-1, 1, 0]  =  [1, 1, 2] 

sind  parallel  und ihr Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ist  \(\vec{0}\)  (Ebenen parallel)

Gruß Wolfgang

Comments

Danke Wolfgang,

Habe die Antwort verstanden und auch nachgeprüft in meinem Taschenrechner. Kannst du mir sagen warum ich das nicht im Taschenrechner eingeben kann also habe [-1,-1,-2] *[1,1,2]=[4,-4,0] bekomme ? Und stattdessen [0,0,0] bekomme.

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[-1,-1,-2] * [1,1,2]  ist eine Zahl und kein Vektor

Die Eingabe des Kreuzprodukts  x  ist wohl bei TR verschieden. Da musst du die Betriebsanleitung lesen

Bei bestimmten Typen kann dir Mathecoach vielleicht weiterhelfen.

Answer 3

  Ich seh schon.  Hier sind die Freunde vom Kreuzprodukt; weißt du, was eine ===> Determinante ist?  Auch mir geht es um die Umtrechnung der Parameterform ( PF ) in die Koordinatenform ( KF )

   Anfangspunkt der Ebene E sei P0 ; die beiden Basisvektoren, die dein Prof einführt, seien u und v .  Statt Lambda und My werde ich r und s schreiben. Sei P

       P  €  E  :=  (  x  |  y  |  z  )         (  1  )

     ein beliebiger Punkt; dann gehorcht doch P der Vektorgleichung

        E  (  r  ;  s  )  =  P0  +  r  u  +  s  v  =  P  |  -  P0        (  2a  )

                                            r  u  +  s  v  =  P  -  P0        (  2b  )

   ein kleines Vexierspiel; für den Augenblick denke ich mir P in ( 1 ) als feste Konstante. Dann auf einmal wird ( 2b ) rein formal juristisch ein LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten r  und  s .   Und zwar ist seine Koeffizientenmatrix  ( KM )   vom Format 3 X 2  und hat ===> Rang 2 - letzteres, weil ja u und v die beiden Basisvektoren sind.

   Dann ist aber die erweiterte KM  QUADRATISCH  vom Format 3 X 3 ; ihr Rang ist aber eben Fakks  2.  Denn wir behaupten ja gerade, dass wir ( P - P0 ) , den Vektor der rechten Seite, ausdrücken können als Linearkombination von u und v . andernfalls würde eine Lösung für r und s ja gar nicht existieren.

   Die DETERMINANTE  der erweiterten KM  VERSCHWINDET .

     det  (  u  ;  v  ;  P  -  P0  )  =  0          (  3  )

    Das selbe kannst du auch viel anschaulicher verstehen. Anschaulich handelt es sich bei der Determinante um ein Spatvolumen ===> Spatprodukt.

  ( Würfel verhält sich zu Quadrat wie Quader zu Rechteck wie Spat zu Parallelogramm. )

   Da aber der Vektor ( P - P0 ) aufgespannt wird von u und v, verhalten sich die drei Vektopren in ( 3 ) komplanar; das von ihnem erzeugte Volumen ist Null.

     Eine Determinante ist ja nix weiter als eine Tabelle; du musst die nur richtig füllen mit den Angaben von deinem Prof.

                        |     - 1          1          x - 6     |  

      det1  =       |        1         1          y - 2     |       =    0      (  4a  )

                        |         0      - 1          z - 8     |

    Hast du das verstanden? Übersichtliche Tabellenführung ist das A und O . Ach und noch etwas; der online Kreuzproduktrechner versteht nur Zahlen.  Dagegen der Online Matrixrechner rechnet dir Determinanten mit beliebigen algebraischen Buchstabenverknüpfungen.

     Auswertung mit Onkel Sarrus

     det  =  [  1 * ( - 1 ) - 1 * 0 ]  (  x  -  6  ) + [ 1 * 0 - ( - 1 ) * ( - 1 ) ] ( y - 2 ) + [ ( - 1 ) * 1 - 1 * 1 ]  ( z - 8 ) =  0        (  4b  )

             x  -  6  +  y  -  2  +  2  (  z  -  8  )  =  0           (  4c  )

     E1  =      x  +  y  +  2  z  =  24      (  4d  )

   Zwei Ebenen haben immer eine ===> Knotenlinie; denk an die Schnittgerade der Mondbahnebene mit der Ekliptik. Ich rechne dir daher das zweite Beispiel nochmals ausführlich;  Aktion Emil " Es intressiert mich persönlich "

                         |         0          - 1         x  -   1         |

     det2  =         |         2            1             y              |       =  0       (  5a  )

                         |      - 1             0         z   -   2         |

        det2  =  x -  1  +  y  +  2  (  z  -  2  )  =  0       (  5b  )

              E2  =   x  +  y  +  2  z  =  5        (  5c  )

   Warum sind ( 4d;5c ) parallel? Wende das Subtraktionsverfahren an  ( 4d )   -  ( 5c  ) ; dann wirst du auf die viel sagende Identität geführt  0  =  19  .

  Erstens ist 19 die Zahl des Mondes.

  Und zweitens kam hier im Internet der größte Mathejoke, den ich je gelesen habe: Mittels  vollständiger Induktion wurde bewiesen, dass alle natürlichen Zahlen gleich sind ...