Ich seh schon. Hier sind die Freunde vom Kreuzprodukt; weißt du, was eine ===> Determinante ist? Auch mir geht es um die Umtrechnung der Parameterform ( PF ) in die Koordinatenform ( KF )
Anfangspunkt der Ebene E sei P0 ; die beiden Basisvektoren, die dein Prof einführt, seien u und v . Statt Lambda und My werde ich r und s schreiben. Sei P
P € E := ( x | y | z ) ( 1 )
ein beliebiger Punkt; dann gehorcht doch P der Vektorgleichung
E ( r ; s ) = P0 + r u + s v = P | - P0 ( 2a )
r u + s v = P - P0 ( 2b )
ein kleines Vexierspiel; für den Augenblick denke ich mir P in ( 1 ) als feste Konstante. Dann auf einmal wird ( 2b ) rein formal juristisch ein LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten r und s . Und zwar ist seine Koeffizientenmatrix ( KM ) vom Format 3 X 2 und hat ===> Rang 2 - letzteres, weil ja u und v die beiden Basisvektoren sind.
Dann ist aber die erweiterte KM QUADRATISCH vom Format 3 X 3 ; ihr Rang ist aber eben Fakks 2. Denn wir behaupten ja gerade, dass wir ( P - P0 ) , den Vektor der rechten Seite, ausdrücken können als Linearkombination von u und v . andernfalls würde eine Lösung für r und s ja gar nicht existieren.
Die DETERMINANTE der erweiterten KM VERSCHWINDET .
det ( u ; v ; P - P0 ) = 0 ( 3 )
Das selbe kannst du auch viel anschaulicher verstehen. Anschaulich handelt es sich bei der Determinante um ein Spatvolumen ===> Spatprodukt.
( Würfel verhält sich zu Quadrat wie Quader zu Rechteck wie Spat zu Parallelogramm. )
Da aber der Vektor ( P - P0 ) aufgespannt wird von u und v, verhalten sich die drei Vektopren in ( 3 ) komplanar; das von ihnem erzeugte Volumen ist Null.
Eine Determinante ist ja nix weiter als eine Tabelle; du musst die nur richtig füllen mit den Angaben von deinem Prof.
| - 1 1 x - 6 |
det1 = | 1 1 y - 2 | = 0 ( 4a )
| 0 - 1 z - 8 |
Hast du das verstanden? Übersichtliche Tabellenführung ist das A und O . Ach und noch etwas; der online Kreuzproduktrechner versteht nur Zahlen. Dagegen der Online Matrixrechner rechnet dir Determinanten mit beliebigen algebraischen Buchstabenverknüpfungen.
Auswertung mit Onkel Sarrus
det = [ 1 * ( - 1 ) - 1 * 0 ] ( x - 6 ) + [ 1 * 0 - ( - 1 ) * ( - 1 ) ] ( y - 2 ) + [ ( - 1 ) * 1 - 1 * 1 ] ( z - 8 ) = 0 ( 4b )
x - 6 + y - 2 + 2 ( z - 8 ) = 0 ( 4c )
E1 = x + y + 2 z = 24 ( 4d )
Zwei Ebenen haben immer eine ===> Knotenlinie; denk an die Schnittgerade der Mondbahnebene mit der Ekliptik. Ich rechne dir daher das zweite Beispiel nochmals ausführlich; Aktion Emil " Es intressiert mich persönlich "
| 0 - 1 x - 1 |
det2 = | 2 1 y | = 0 ( 5a )
| - 1 0 z - 2 |
det2 = x - 1 + y + 2 ( z - 2 ) = 0 ( 5b )
E2 = x + y + 2 z = 5 ( 5c )
Warum sind ( 4d;5c ) parallel? Wende das Subtraktionsverfahren an ( 4d ) - ( 5c ) ; dann wirst du auf die viel sagende Identität geführt 0 = 19 .
Erstens ist 19 die Zahl des Mondes.
Und zweitens kam hier im Internet der größte Mathejoke, den ich je gelesen habe: Mittels vollständiger Induktion wurde bewiesen, dass alle natürlichen Zahlen gleich sind ...
