Konvergenz zeigen mit Majorantenkriterium

Question

Würde gern Konvergenz zeigen mit dem Majorantenkriterium. 

$$\sum _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ (k-\pi )^{ 2 } }  } $$

Allerdings bereitet mir das Minus in den Betragsstrichen Probleme. Dreiecksungleichung macht ja kein Sinn, da man hier wegen dem Bruch umgekehrt denken muss und der Bruch ja größer wird wenn der Nenner kleiner wird. 

$$\frac { 1 }{ \left| { k }^{ 2 }-2\pi k+{ \pi  }^{ 2 } \right|  } \le \frac { 1 }{ \left| { k }^{ 2 }-2\pi k \right|  } $$

Könnte mir jemand erklären wie ich dann weiter machen kann. Komme nicht dazu eine Folge abzuschätzen, dessen Reihe dann konvegiert.

Answer 1

Für die Konvergenz einer Reihe sind ja die ersten Glieder nicht entscheidend.

Du könntest also betrachten

$$ \sum _{ k=6 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ (k-\pi )^{ 2 } }  }  $$

und dann eine Indexverschiebung 

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ (k+5-\pi )^{ 2 } }  }  $$

und dann kann man doch sagen: Für alle k≥1 gilt   k+5-pi > k ≥1

also auch   (k+5-pi)^2  > k^2   und damit 

              1 /   (k+5-pi)^2  <   1 /  k^2

Und weil die Reihe  

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k ^{ 2 } }  }  $$

konvergiert, ist sie eine konvergente Majorante für 

$$ \sum _{ k=6 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ (k-\pi )^{ 2 } }  }  $$

Und die ersten 5 Summanden der gegebenen Reihe 

machen den Kohl nicht fett. Die konvergiert also auch.

Answer 2

für k>π gilt :

k-π<2k 

1/(k-π)>1/(2k)

1/(k-π)^2>1/(2k)^2=1/4 *1/k^2 --> konvergiert

Die Summanden für 1<=k<π ändern das Konvergenzverhalten nicht, da nur endlich viele.