Warum gibt h'(t) den Höhenzuwachs an und nicht die Wachstumsgeschwindigkeit?

Question

also der Infotext lautele in Hr. Maiers Garten steht ein Kirschenbaum. Beim Einpflanzen hatte der Baum eine Höhe von 2 Metern. 7 Jahre nach dem Einpflanzen ist er 5 Meter hoch. Zur Modellierung seines Wachstums soll die Höhe des Baumes durch eine Funktion in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden. Dazu wird die Funktion h(t)= 6-4e^-0,2t    Die Aufgabe kommt als Foto, es geht um die 4.3 , ich weiß wie man sie berechnet, doch im Sachzusammenhang kann ich es nicht erklären. Hier steht zur 4.3 in der Lösung, dass es die durchschnittliche Höhenzunahme des Baumes in den ersten 5 Jahren beschreibt. Aber da es sich doch um h'(t) handelt, müsste es sich doch um die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit und nicht um den Höhenzuwachs gehen , oder?? Bitte um Hilfe

Answer 1

Das Integral/Fläche gibt Summe der Höhen in den einzelnen Jahren an.

Die Durchschnittshöhe erhält man, indem durch die Anzahl der Jahre dividiert.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+6-4e%5E(-0.2t)++from+0+to5

Comments

Dankeschön , aber warum wird hier der Höhenzuwachs angegeben? Ich dachte, dass es die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit ist, da da Integral von h'(t) gesucht wird :/

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Genau lesen:

"Hier steht zur 4.3 in der Lösung, dass es die durchschnittliche Höhenzunahme des Baumes in den ersten 5 Jahren beschreibt."

Es geht nicht um die W-geschwindigkeit!

Gesucht ist das Integral von h(t) NICHT von h'(t).

Das Integral von h'(t) wäre ja wieder h(t).

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Heißt das, dass wenn wieder als Stammfunktion h(t) raus kommt, dass es dann den Höhenzuwachs beschreibt? Habe ich es richtig verstanden? Danke

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h(t) gibt die Höhe in den einzelnen Jahren an, nicht den Zuwachs.

h'(t) gibt die momentane Zunahme im Zeitpunkt t an.

Answer 2

Zu sehen ist eindeutig
h ( t ) =  6 - 4 *e ^{-0.2*t}
h (0 ) = 2 m
h ( 7 ) = 5 m

h ´( t ) = 0.8 * e ^{-0.2*t}

1/5 * ∫ h ´( t ) dt zwischen 0 und 5
1 / 5  * [ -4 * e ^{-0.2*t} + C ] zwischen 0 und 5
1 / 5 * 2.53 m
0.506 m

Der Baum ist zwischen t = 0 und t = 5 um 2.53 m
gewachsen. Er ist in einem Jahr um durchschnittlich
0.506 m gewachsen.

Comments

Das war aber wohl nicht gefragt, wenn man die Lösung betrachtet.

Vorsicht, du könntest das nächste Unfallopfer im Straßenverkehr sein. :)

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h ( t ) =  6 - 4 *e  (-0.2*t)
gibt die Höhe an.

h ´( t ) = Steigungsfunktion  von h ( t ) und sonst
ersteinmal gar nichts.
h ´( t ) = 0.8 * e ^{-0.2*t}

Stammfunktion
∫ h ´( t ) dt
S ( t ) = - 4 *e  (-0.2*t)

[ S ( t ) ] zwischen 0 und 5
S ( 5 ) - S ( 0 ) = -1.47 - ( - 4 ) = 2.53 m
= Höhenzuwachs in 5 Jahren
Höhenzuwachs in 1 Jahr = * 1/5
0.506 m pro Jahr

Im Sachzusammenhang
1/5 * ∫ h ´( t ) dt zwischen 0 und 5 ist der
durchschnittliche Höhenzuwachs pro Jahr.

Um die Sache zu Ende zu bringen
[ S ( t ) ] zwischen 0 und t =
Höhenzuwachs zwischen 0 und t
Δ H = - 4 *e  (-0.2*t) - ( - 4 )
Δ H = - 4 *e  (-0.2*t) +  4
Höhe ( 0 ) = Δ H + x = 2 m = 0 + x = 2 => x = 2
Höhe ( t ) = - 4 *e  (-0.2*t) +  4 + 2
Höhe ( t ) = 6 - 4 * e  (-0.2*t)

Answer 3

Achtung

1/(b - a) * ∫ (a bis b) h'(t) dt

= 1/(b - a) * (h(b) - h(a))

= (h(b) - h(a)) / (b - a)

und damit ist das einfach die Sekantensteigung im Intervall [a, b] und damit eben durchschnittliche Höhenzunahme im Intervall [a, b].

h'(t) gibt die Wachstumsgeschwindigkeit

∫ (a bis b) h'(t) dt gibt allerdings die Höhenzunahme im Intervall [a, b] an.