Integralrechnung. Wachstumsgeschwindigkeit von Tomatensetzling v(t)=-0,1t^{3}+t^{2} zu. (t in Wochen, c in cm/Woche)

Question

Ein Tomatensetzling beim  Einpflanzen eine Höhe von 5 cm. Seine Höhe nimmt ab das mit einer Geschwindigkeit von v(t)=-0,1t^{3}+t^{2} zu. (t in Wochen, c in cm/Woche)

a) Wie lange dauert die Wachstumsphase?

b) Wie hoch wird die Pflanze maximal?

c) Was passiert mit der Pflanze in der 11 Woche? Begründe deine Antwort.

d) Wie hoch wird die Pflanze zum Zeitpunkt des schnellsten Wachstums sein?

Comments

Lösungsansatz?

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An den Themenstarter:
1.) Bitte lies dir deinen Text durch und alle beseitige die Fehler!
2.) Bitte teile deine Überlegungen mit!
3.) Bitte formuliere deine Fragen und Probleme dazu!

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Ja Ich weiß nicht was ich genau Ausrechnen muss wie z.B bei a) da weiß ich nichz wie ich die Grenzen, wenn man welche setzten muss, wählen soll.

Rechnen kann ich, brauche nur Reize.

Was will man den von mir in den Fragestellungen, es wäre nett wenn ihr mir Tipps geben könntet

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Es handelt sich doch offenbar um eine Parabel 3. Grades.

Das Wachstum ist beendet, wenn das Maximum erreicht ist, und das kannst du sicher berechnen.

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@jd195
Das Wachstum ist beendet, wenn das Maximum erreicht ist...

Der Ansicht bin ich nicht. Siehe den von mir eingestellten Graph.
Wenn das Maximum erreicht ist geht das Wachstum noch weiter
und ist noch nicht beendet.

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Na klar du hast nur die falsche Funktion verwendet??

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Ich bin zwischenzeitlich gestorben.
mfg Georg

Answer 1

Ein Tomatensetzling beim  Einpflanzen eine Höhe von 5 cm. Seine Höhe
nimmt ab das mit einer Geschwindigkeit von v(t)=-0,1t³+t² zu.
( t in Wochen, v in cm/Woche )

a) Wie lange dauert die Wachstumsphase ?
Bis v ( t ) = 0
zur Kontrolle : t = 10

b) Wie hoch wird die Pflanze maximal?
Ende der Wachstumsphase.
h ( t ) = ∫ v ( t ) dt  + 5

c) Was passiert mit der Pflanze in der 11 Woche? Begründe deine Antwort.
Es findet kein Wachstum mehr statt.

d) Wie hoch wird die Pflanze zum Zeitpunkt des schnellsten Wachstums sein?
Zeitpunkt des schnellsten Wachstums = Wendepunkt von v.
v ´´ ( t ) bilden und zu null setzen.
Zur Kontrolle : t = 3.3333 Wochen
h ( 3.333 ) = ?

mfg Georg

Comments

Hier der Graph.

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fast richtig

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Korrektur
d) Wie hoch wird die Pflanze zum Zeitpunkt des schnellsten Wachstums sein?
Zeitpunkt des schnellsten Wachstums = Wendepunkt von v.

sondern
d) Wie hoch wird die Pflanze zum Zeitpunkt des schnellsten Wachstums sein?
Zeitpunkt des schnellsten Wachstums = Maximum der Funktion v
v ´ ( t ) bilden und zu null setzen.
Zur Kontrolle : t = 6.6666
h ( 6.6666 ) = ?

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Vielen Dank :) Hast mir sehr geholfen, aber eine Frage hätte ich da noch und zwar, was muss ich bei a) jetzt genau machen, muss ich die Grenze von untere Grenze 0 und obere Grenze 10 setzen oder was ist da von mir verlangt ?

und bei b) weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich das Rechnen soll, und zu was ich das Umstellen soll, und bei d) habe ich mir auch zuerst gedacht das man den Wendepunkt ausrechnen soll, weil es doch dort am schnellsten wächst ? warum jetzt den Hochpunkt ? dort hat es sein Maximum aber nicht den schnellsten Wachstum, dort ist es doch nur am höchsten, aber nicht am schnellsten, oder? :D Ich weiß nicht weiter!

Danke nochmal im Voraus :))

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Die Formel die dir gegeben ist ist die Wachstumsgeschwindigkeit
v in cm / Woche.

a) Wie lange dauert die Wachstumsphase ?
Die Wachstumsphase fängt bei v = 0 an und endet wenn
v wieder gleich 0 wird.
v ( t ) = 0
0 = -0,1t³+t²   | t^2 ausklammern
t^2 * ( -0.1 * t +1 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist
t^2 = 0  => t = 0
-0.1 * t + 1 = 0
t = 10

Die Wachstumsphase dauert von t = 0 bis t = 10 Wochen

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist die erste Ableitung des Wachstums.
Ich nehme einmal h für die Höhe oder das Wachstum in cm.

h ´ ( t ) = v ( t )
oder  umgekehrt für eine Stammfunktion von v
∫ v ( t ) dt = h ( t )

b) Wie hoch wird die Pflanze maximal?
Ende der Wachstumsphase.
Das maximale Wachstum wird bei t = 10 erreicht und entspricht
der Fläche unterhalb der Wachstumsgeschwindigkeitskurve.
Stammfunktion bilden ( integrieren )
s ( t ) = ∫ v ( t ) dt 
s ( t ) = ∫ -0.1 * t^3 + t^2 dt 
s ( t ) = -0.1 * t^4 / 4 + t^3 / 3
Da die Pflanze zum Zeitpunkt t = 0 bereits eine Höhe 5 cm hat ist die Stammfunktion
s ( t ) = -0.1 * t^4 / 4 + t^3 / 3 + 5

Allgemeine Höhenfunktion

Höhe = [ s ( t ) ]₀^t = s ( t ) - s ( 0 )
Höhe = [ -0.1 * t^4 / 4 + t^3 / 3 + 5 ]₀^t
Höhe = [ -0.1 * t^4 / 4 + t^3 / 3 + 5  (-0.1 * 0^4 / 4 + 0^3 / 3 + 5) ]
Höhe ( t ) = -0.1 * t^4 / 4 + t^3 / 3
Höhe ( 10 ) = -0.1 * 10^4 / 4 + 10^3 / 3
max Höhe = 83.333 cm

d.)
Einen Fehler hatte ich gemacht und diesen korrigiert.
Die Formel die dir gegeben ist gilt für die Wachstumsgeschwindigkeit.
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist beim Maximum am größten.
Höhe ( 6.6666 ) = ?
zur Kontrolle : 49.4 cm

So. Ich hoffe alles stimmt.

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Ein Fehler ist noch vorhanden

Stammfunktion
s ( t ) = -0.1 * t⁴ / 4 + t³ / 3 + c
( c ist die Integrationskonstante )

Allgemeine Höhenfunktion

Höhe = s ( t ) - s ( 0 )  + 5
Höhe = [ -0.1 * t⁴ / 4 + t³ / 3 + c ]₀^t  + 5
Höhe = [ -0.1 * t⁴ / 4 + t³ / 3 + c  (-0.1 * 0⁴ / 4 + 0³ / 3 + c) ]  + 5
Höhe ( t ) = -0.1 * t⁴ / 4 + t³ / 3  + 5
Höhe ( 10 ) = -0.1 * 10⁴ / 4 + 10³ / 3  + 5
max Höhe = 88.333 cm

d.)
Höhe ( 6.6666 ) = ?
zur Kontrolle : 54.4 cm

Answer 2

hier ein paar Tipps :)

a) Ein Wachstum liegt dann vor, wenn v > 0 ist. Finde also die Nullstellen der Funktion v(t)

b) Die Höhenfunktion ergibt sich aus der Integration von v(t)

(Erinnere Dich an die Physik -> v(t) = s'(t), also musst Du v(t) integrieren um s(t) zu erhalten. Hier ist s(t) = h(t) ;))

Setze dann den Endwert des Wachstums ein.

c) Überleg Dir was passiert

d) Bilde die Ableitung von v(t)....

Grüße