Limes von 2n'te Wurzel aus 4^{n+1}*n^3 gegen unendlich

Question

Die Grenzwertaufgabe stammt aus einer Altklausur, zu der ich auch die Lösungen habe. Ich kann die Lösungsschritte jedoch nicht nachvollziehen.

Wie kommt man von \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n]{4^{n+1} \cdot n^{3}} \) auf \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(4^{\frac{n}{2 n}} \cdot 4 \cdot n \cdot n \cdot n\right) \) 

auf \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} 2 \cdot \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n]{4} \cdot\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n]{n}\right)^{3} \)

auf \( 2 \cdot 1 \cdot l^{3} \)?

Comments

Im 2. Bild sollte über 4*n*n*n sollte noch die 2n-te Wurzel dabei sein.

Beachte die Formelzusammenstellung bei:

https://www.matheretter.de/wiki/wurzel

Speziell den Teil mit dem Bruch im Exponenten.

Answer 1

2n-te Wurzel ist dasselbe wie hoch (1/(2n)) . Dann kannst du die bekannten Potenzgesetze benutzen

(4^{n+1} * n^3 ) ^{1/(2n)}

= (4^n * 4 * n^3 )  ^{1/(2n)}

= 4^ (n/(2n)) * (4*n^3) ^ (1/(2n))

= 4^{1/2} * (4*n^3) ^ (1/(2n))

= 2 * (4*n^3) ^ (1/(2n))

Und jetzt den 2. Teil wieder in Wurzelschreibweise überführen.

2 ist im Grenzwert 2.

riesige Wurzel aus 4 ist 1.

riesige Wurzel aus n ist 1. (Sollte irgendwo in deinen Unterlagen stehen)

1*1*1 = 1^3.

Comments

Erstmal DANKE! :)

Das mit der Potenzschreibweise statt Wurzel wusste ich, aber konnts nicht nachvollziehen. Aber ok, wenn im 2. Bild die Wurzel über dem Rest fehlt, machts schon mehr Sinn ;)

Ich wär nie auf die Idee gekommen, dass bei " 4^{n+1} " die 1 quasi eine 4 ist. Cool.

Dass die Wurzeln 1 werden war mir jetzt auch nicht so bewusst.

Zu Bild 3: Müsste die HOCH 3 nicht direkt überm "n" stehen? Oder ist es egal ob die HOCH 3 über dem gesamten Limes steht? Und angenommen die HOCH 3 würde noch mit unter der Wurzel stehen: warum überwiegt die 2n'te Wurzel das n^3 ??? Ich hätte gedacht, dass das n^3 immer größer bleibt, als die 2n'te Wurzel :-/

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In der Lösung wurde das mit den beiden Wurzeln irgendwie mit dem Vergleichskriterium gelöst. Oder dienst das quasi nur als Rechfertigung für den Prof dafür, dass man 1 als Limes nimmt?

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n direkt über 3 in Bild 3 macht mehr Sinn.

Man darf aber hoch 3 aus der Wurzel und schliesslich aus dem Limes rausnehmen.

Wenn man das mit den 'riesigen' Wurzeln nicht einfach aus der Veranstaltung kennt, muss man schon in den Unterlagen ein Kriterium suchen, das passt.