Zunächst mal suchen wir die Polstellen des Nenners. Es wird uns gelingen, diesen elementar zu faktorisieren.
x ³ - x ² + x - 1 = x ² ( x - 1 ) + ( x - 1 ) = ( x ² + 1 ) ( x - 1 ) ( 1a )
x1 = 1 ; z1 = i ; z2 = ( - i ) ( 1b )
Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; ich kann es auch. Es heißt nicht Partial-sondern Teilbruchzerlegung ( TZ )
" Der Himmel ist partialweise aufgeheitert; und ich nehme an dem Fußballspiel partial. "
Der Existenz-und Eindeutigkeitssatz der TZ besagt
" Die TZ ist eine ( endliche ) Reihenentwicklung nach der höchsten Ordnung jeder Polstelle. "
Hier haben wir nur einfache Pole.
x ² - x + 1
2 -------------------------------- = ( 2a )
( x - 1 ) ( x ² + 1 )
A B B *
= ----------- + ---------- + ------------ ( 2b )
x - 1 x - i x + i
Es ist aber zweierlei, ob du einen teoretischen Beweis zu erbringen oder in endlicher Zeit eine praktische Berechnung über die Bühne zu bringen hast. Der Existenz-und Eindeutigkeitssatz beruht, wie dir bekannt ist, auf einem Koeffizientenvergleich. Zum einen ist das LGS nur mühsam zu erstellen; man vertut sich da leicht. Und zum anderen ist es gekoppelt; es wird immer mühseliger, je mehr Koeffizienten du schleppst. Im Rahmen der KI ist dieser Dinosaurier auch heute noch die dominante Tierart; wann wird er endlich aussterben?
Beliebt sind ja immer diese Ortogonalisierungsverfahren, die den ganzen Klumpatsch separieren. In unserem Fall wurde das erst Ende des 20. Jhs. entdeckt - an sich hätten Euler und Cauchy schon die Chance gehabt. Das Verfahren wird heute schon in den Lehrbüchern beschrieben; Viele kennen es; und es firmiert unter dem Spitznamen Abdecker-bzw. Zuhälterverfahren. Da kommen konstant Anfragen in der Richtung
" Ich muss das jetzt wissen. "
Angenommen du suchst den Koeffizienten A in ( 2b ) Dann musst du nur die zugehörige Polstelle x = 1 einsetzen in ( 2a )
" Aber das geht doch gar nicht; der Term wird doch singulär. "
Richtig. Und deshalb DECKST du diesen singulären Nenner mit der Hand AB ( " Abdeckerverfahren " ) oder HÄLTST ihn ZU ( " Zuhälterverfahren " ) Was du dann erhältst, schimpft sich
" Integralkern ( Formelzeichen G ) der Funktion f ( x ) an der Polstelle x0 = 1 . "
x ² - x + 1
G ( x ; 1 ) := 2 ------------------------- ( 3a )
x ² + 1
A = G ( 1 ; 1 ) = 1 ( 3b )
Zugegeben; das klingt wie Zauberei. Das ist doch allemal leichter als Mitternachtsformel.Seine Begründung findet es in dem wohl schwierigsten Kapitel, das die komplexe ===> Funktionenteorie zu bieten hat, der ===> Residuenintegration. Eine Studienrätin mahnte mich mal ab, ich dürfe nicht den Eindruck erwecken, es sei billiger zu haben.
Es gibt so Integrale, die zwischen Innen und Außen unterscheiden können. Wenn du z.B. Strom durchflossene Drähte durch ein Blatt Papier piekst und das von ihnen erregte Magnetfeld integrierst längs einer ( beliebigen ) geschlossenen Kurve, dann sieht das Integral nur die Summe der Ströme, die im Inneren der umrandeten Flächje fließen.
Beweise wurden hier schon öfters gefordert; den Ärger krieg aber jedesmal ich, wenn ich etwas vortrage, was über den bloßen Rahmen der Aufgabe hinaus geht; frag deinen Prof; oder wende dich nochmal an mich.
Analog findest du durch Zuhalten aus ( 2a )
x ² - x + 1
G ( x ; i ) := 2 ---------------------------- ( 3a )
( x - 1 ) ( x + i )
- 2 i
B = G ( i ; i ) = -------------------------- = 1/2 ( 1 + i ) ( 3b )
2 i ( i - 1 )
und damit ( 2b )
f ( x ) = 1 / ( x - 1 ) + 1/2 ( 1 + i ) / ( x - i ) + 1/2 ( 1 - i ) / ( x + i ) ( 4 )
Wolfram hurraaa !!!!!!!
