Hilfe Berechnung Determinante

Question

Ich möchte die Eigenwerte einer 3x3 Matrix berechnen und komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis.

b-λ	0	0
0	-λ	-2*i*b
0	2*i*b	-λ

ist die Matrix von der ich die EW berechnen muss. Mein Polynom ist λ² b -λ³ -4b³ +4b² *λ. Den ersten EW hab ich: λ = b. Für die anderen wollte ich eine Polynomdivision machen. Ich hab dann da stehen (λ² +4b²)(λ-b) = 0. Offenbar ist aber das Vorzeichen bei (λ2 +4b²) falsch weil ich dafür einen Imaginären Wert bekommen würde und das Ergebnis λ=2b ist. 

Kann mir bitte jemand erklären wie der Vorzeichen Fehler zustande kommt? Hab das ganze jetzt schon öfters durchgerechnet.

Answer 1

Ich hab dann da stehen (λ² +4b²)(λ-b) = 0. Offenbar ist aber das Vorzeichen bei (λ² +4b²) falsch.So ist es; es muss heißen  (-λ² +4b²)(λ-b) = 0.

Comments

Ja aber wo hab ich mich vertan? Finde den Fehler einfach nicht. Ich habe wenn ich die Determinante berechne stehen: λ^2 -^3 -[(2ib*(-2ib)(b-λ)] = 0. Und da ja -i mal i gleich 1 ist bekomme ich: für den Teil in der Klammer 4b^3 -4b^2*λ und mit dem minus vor der Klammer wird es zu -4b^3+4b^2*λ....

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Ich verspüre wenig Neigung nach deinem Denk- oder Rechenfehler zu suchen und schlage zweimaliges Ausklammern vor:  λ² b -λ³ -4b³ +4b² *λ=λ²(b-λ)-4b²(b-λ)=(λ²-4b²)(b-λ).

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Hmm mit dem ausklammern ist das klar. Verstehe nur trotzdem nicht ganz warum ich nicht auf das richtige Ergebnis gekommen bin. 

Egal, danke auf jeden Fall.

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Wenn du dein angegebenes Polynom für die Polynomdivision umstellst steht doch da:

$$(-\lambda^3+b\lambda^2+4b^2\lambda-4b^3):(\lambda-b)$$

Im ersten Schritt rechnest du dann

$$-\lambda^3:\lambda=-\lambda^2$$

Answer 2

Berechne die Determinante doch nach dem Laplace'schen Entwicklungssatz und Du bekommst:

det(A)) = (b-λ) [(-λ)²-(-4i²b²)]=(b-λ)[λ²-4b²]