Vollständige Induktion - bitte Hilfe

Question

Es gilt 

$$ (\sum_{i=1}^{n}{i})^2 $$ = $$ \sum_{i=1}^{n}{i}^3 $$ für alle n∈ℕ

IA: da passt alles wenn man 1 einsetzt.

IV: nochmal die Behauptung

IS: n->n+1

mein Ansatz ist das erste Summenzeichen wie folgt aufzulösen

$$ (\sum_{i=1}^{n+1}{i})^2 $$ = $$ (\sum_{i=1}^{n}{i})^2 +(n+1)^2$$= $$\frac{n(n+1)}{2}^2+(n+1)^2$$ =$$\frac{n^4+n^2}{4}+(n^2+2n+1)$$= $$\frac{n^4+n^2}{4}+\frac{4n^2+8n+4}{4}$$ =$$\frac{n^4+5n^2+8n+4}{4}$$

soweit bin ich gekommen, wie geht es da weiter? Wie löse ich das zweite Summenzeichen auf?

Vielen Dank für Antworten

Answer 1

Dein Induktionsschritt ist nicht richtig. Wir schreiben die Summe bis n und den letzten Summanden schreiben wir getrennt und dann wenden wir die erste binomische Formel an. Es gilt folgendes: $$\left(\sum_{i=1}^{n+1}i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n}i + (n+1)\right)^2 \\ =\left(\sum_{i=1}^{n}i \right)^2+2\cdot (n+1)\cdot \sum_{i=1}^{n}i + (n+1)^2 \\ \ \overset{\text{IV}}{=} \ \sum_{i=1}^{n}i^3 +2\cdot (n+1)\cdot \sum_{i=1}^{n}i + (n+1)^2 \\ = \sum_{i=1}^{n}i^3 +2\cdot (n+1)\cdot \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)^2 \\ = \sum_{i=1}^{n}i^3 +n(n+1)^2 + (n+1)^2 \\ =\sum_{i=1}^{n}i^3 +(n+1)(n+1)^2 \\ = \sum_{i=1}^{n}i^3 + (n+1)^3 \\ = \sum_{i=1}^{n+1}i^3$$ 

Answer 2

Zu zeigen
(Σ (i = 1 bis n) (i))² = Σ (i = 1 bis n) (i³)

Induktionsanfang n = 1
(Σ (i = 1 bis 1) (i))² = Σ (i = 1 bis 1) (i³)
1^2 = 1^3
wahr

Induktionsschritt n --> n + 1
(Σ (i = 1 bis n + 1) (i))² = Σ (i = 1 bis n + 1) (i³)
(Σ (i = 1 bis n) (i) + (n + 1))² = Σ (i = 1 bis n) (i³) + (n + 1)³
(Σ (i = 1 bis n) (i))² + 2·(Σ (i = 1 bis n) (i))·(n + 1) + (n + 1)^2 = Σ (i = 1 bis n) (i³) + (n + 1)³
Σ (i = 1 bis 1) (i³) + 2·(Σ (i = 1 bis n) (i))·(n + 1) + (n + 1)^2 = Σ (i = 1 bis n) (i³) + (n + 1)³
2·(Σ (i = 1 bis n) (i))·(n + 1) + (n + 1)^2 = (n + 1)³
2·(Σ (i = 1 bis n) (i)) + (n + 1) = (n + 1)²
2·(Σ (i = 1 bis n) (i)) = (n + 1)² - (n + 1)
2·(Σ (i = 1 bis n) (i)) = n² + 2·n + 1 - n - 1
2·(Σ (i = 1 bis n) (i)) = n² + n
2·(Σ (i = 1 bis n) (i)) = n·(n + 1)
Σ (i = 1 bis n) (i) = 1/2·n·(n + 1)