Differenz von y-Werte berechnen

Question

ich schreibe bald eine Arbeit und habe hier eine Aufgabe zu der ich schon die Lösung habe, aber leider ohne Rechenweg. Kann mir einer bitte erklären wie ich auf das Ergebnis komme:

Gegeben sind zwei Funktionen f und g mit f(x)=e^x;g(x)=x⋅e^x. Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet für u≤1 den Graphen von f inP und den Graphen von g inQ. Für welchen Wert von u ist die Differenz der y-Werte von P und Q am größten?

Lösung:
d(u)=e^u−u⋅e^u
d‘(u)= −u⋅e^u; d‘‘(x)= e^u−u⋅e^u
Lokale Maximalstelle: u=0
lokales Maximum: d(0)=1

Answer 1

Man bildet zuerst die differenzfunktion d(u)=f(u)-g(u). Will man nun wissen wo die differenzfunktion maximal wird, muss man die erste Ableitung bilden (notwendige bedingung) und diese null setzen. Die nullstelle der ersten Ableitung ist eine mögliche extremstelle. Ob es sich wirklich um ein Maximum handelt findet man heraus in dem man die nullstelle in die zweite Ableitung einsetzt (hinreichende Bedingung). Ist die nullstelle der ersten Ableitung als extremstelle bestätigt, setzt man die stelle in die differenzfunktion ein und berechnet so abschließend den maximalen Abstand zwischen den graphen. 

Comments

Eine Betrachtung des Verhaltens der Differenzfunktion d(x) an der Randstelle x = 1 bzw. für x → -∞  sollte man bei der Bestimmung eines absoluten Maximums  wohl auch beachten oder ersatzweise auf die Bedeutung des Fehlens von lokalen Minimumstellen hierfür hinweisen.

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> Ist die nullstelle der ersten Ableitung als  extremstelle  bestätigt, setzt man die stelle in die differenzfunktion ein

Du meinst wohl eher  Maximumstelle 

Answer 2

Hallo Cecilia,

gesucht ist für x ∈ ] - ∞ ; 1 ]  der x-Wert, für den die Differenz

d(x) =  f(x) - g(x)  = e^x -  x·e^x  einen maximalen Wert hat.

Die Ableitungen von d erhält man mit der Produktregel  [ u · v ] ' = u' · v + u ·v '   

                                                                       und [ e^x ] ' = e^x  

d'(x)  =  e^x - (1 · e^x + x · e^x)  =  - x · e^x

d"(x)  =  -1 · e^x  + (-x) · e^x  =  - e^x · (x + 1)

Lokale Extremstellen im Innern des vorgegebenen Intervalls: 

Mögliche lokale Extremstellen ergeben sich aus  d'(x) = 0  

- x · e^x = 0  ⇔  x = 0

Hinreichende Zusatzbedingung für eine Maximalstelle: 

d"(0)  = -1  <  0   →  x = 0 ist die einzige lokale Maximumstelle

Mit d(0) = 1  ergibt sich der lokale Maximumpunkt H(0|1)

Wegen d(1) = 0  und  limx→ -∞  d(x) = 0  [Dominanz des e-Terms bei d(x) = e^x · (1-x) ] 

liegt das  absolute Maximum 1 der Differenz bei x = 0  

Gruß Wolfgang

Answer 3

d(x)=e^x − x⋅e^x

Für den 2.Summanden gilt beim Ableiten die
Produktregel
d ´( x ) = e^x - ( 1  * e^x + x * e^x )
d ´( x ) = e^x - e^x - x * e^x
d ´( x ) = - x * e^x

x * e^x = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
e^x ist stets positiv
also
x = 0

Comments

Müsste dann bei der Ableitung nicht d‘(x)=e^x-1*e^x+e^x-x*e^x stehen?

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Nein, das wäre ein e^x zuviel. 

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( e ^x ) ´= e^x

( x⋅e^x ) ´ = 1 * e^x + x * e^x

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Wenn ich u=0 in die zweite Ableitung einsetzte kommt eins raus, das heißt doch, dass es kein Maximum sein kann, weil es größer Null ist oder?

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Deine zweite Ableitung ist nicht richtig. Es kommt -1 heraus.

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Eine Betrachtung des Verhaltens der Differenzfunktion d(x) an der Randstelle x = 1 bzw. für x → -∞  sollte man bei der Bestimmung eines absoluten Maximums  wohl auch beachten oder ersatzweise auf die Bedeutung des Fehlens von lokalen Minimumstellen hierfür hinweisen.

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d ´( x ) = - x * e ^{x}
d ´´ ( x ) = - ( 1 * e ^{x} + x * e ^{x} )
d´´ ( x ) = - ( e ^0 + 0 * e^0 )
d´´ ( x ) = -1
Damit wäre der Nachweis erbracht das
bei x = 0 ein Maximum vorliegt.

Da meine Lösung mit der vorgegebenen
Lösung übereinstimmt können wir es dabei
auch belassen.

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> Damit wäre der Nachweis erbracht das
bei x = 0 ein  lokales  Maximum vorliegt.  

Und mit obenstehender Begründung ist es dann auch ein absolutes Maximum

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zu der ich schon die Lösung habe, aber leider ohne Rechenweg.
Den Rechenweg habe ich der Fragestellerin
aufgezeigt und das wars für mich.

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Der Rechenweg war im wesentlichen schon Teil der angegebenen Lösung...

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Hallo Wolfgang,
solltest du an einem wichtigen Beitrag von
mir interessiert sein dann schaue unter

https://www.mathelounge.de/509603/zuckerlosung-unbestimmter-konzentration-zuckerlosung-erhohen

meinen handschriftlichen bzw. den maschinen-geschriebenen ( 4 Artikel darunter ) Beitrag an.