Kurvendiskussion, Umkehraufgabe

Question

Eine Funktion dritten Grades hat einen Wendepunkt bei x=3. Dort hat sie den Anstieg -2. Außerdem hat sie eine Nullstelle bei x= -1 und verläuft durch den Punkt (6/4). Stellen Sie das Gleichungssystem auf mit dem man die Funktionsgleichung ermitteln kann.

Entweder kommen da "hässliche" Zahlen raus oder ich weiß einfach nicht wo mein Fehler ist.

Mein Ansatz:

F(-1)=0

F(6)=4

F'(3)=-2

F''(3)=0

Answer 1

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c
f''(x) = 6·a·x + 2·b

f''(3) = 0 --> 18·a + 2·b = 0
f'(3) = -2 --> 27·a + 6·b + c = -2
f(-1) = 0 --> -a + b - c + d = 0
f(6) = 4 --> 216·a + 36·b + 6·c + d = 4

Löse das LGS und erhalte: a = 18/91 ∧ b = - 162/91 ∧ c = 304/91 ∧ d = 484/91

Es kann also sein das dort sehr doofe Werte herauskommen.

Comments

Ja das ist bei mir auch rausgekommen. Das Bsp ist bei mir zur Prüfung gekommen. Ich hatte nicht weiter gerechnet weil ich dachte das ichs falsch hatte und das deswegen, weil ich mir dachte, dass die Prüferin mir nie ein Beispiel mit so "hässlichen" Zahlen gibt... Wahrscheinlich hat sie das mit Absicht gemacht, da die Prüfungsbeispiele individuell waren, denn bei den letzten "allgemeinen" Prüfungen, bei denen alle dieselbe Angaben bekamen, war die Rechnungen zwar auch mit "unschönen" Brüchen, aber zum Schluss ist immer ein schönes Ergebnis rausgekommen.

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auf jeden Fall, danke für deine Antwort

Answer 2

Dein Ansatz ist korrekt.

Deine Lösung kann ich nicht beurteilen, weil du sie nicht veröffentlicht hast.

Löst man das gesuchte Gleichungssystem und bestimmt damit die Funktionsgleichung, dann bekommt man

        f(x) = 18/91·x³ - 162/91·x² + 304/91·x + 484/91.

Sonderlich hässlich finde ich das jetzt nicht, aber da gehen wohl die Geschmäcke auseinander.

Andererseits, hast du dir mal übelegt, warum die Bestimmung der Funktionsgleichung nicht Teil der Aufgabenstellung ist?

Comments

Stiimmmmmt.....

So hatte ich gar nicht gedacht bzw. habe ich die Angabe nicht richtig gelesen. Also musste ich eigentlich nur das Gleichungssystem aufstellen und nicht bis Zur Funktionsgleichung rechnen oder?

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So steht es zumindest in der von dir angegebenen Aufgabenstellung..

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auf jeden Fall, danke für deine Antwort

Answer 3

   Hier das heiß´t nicht " umgekehrte Kurvendiskussion " , sondern " Steckbriefaufgabe "  Keine Aufgabe auf Schulniveau verbrät mehr wie zwei Unbekannte. Schreibe ich vorerst mal dein Polynom in Normalform:

        F  (  x  )  =  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0         (  1  )

    Was ich immer konstant predige; die Bestimmung des WP über die 2. Ableitung ist ein umständlicher Irrweg. Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS ) ; du musst immer von der Normalform ausgehen wie  ( 1 ) - deshalb habe ich das auch.

        x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  3  ===>  a2  =  (  -  9  )       (  2  )

    Jetzt kannst du aber diese Nullstelle bei Minus Eins faktorisieren.

      F  (  x  )  =  (  x  +  1  )  (  x  ²  -  p  x  +  q  )             (  3a  )

    Wenn du diese Klammern auflöst, hast du einen Koeffizientenvergleich  mit ( 1 )

       a2  =  1  -  p  ===>  p  =  10      (  3b  )

      a1  =  q  -  p  =  q  -  10     (  3c  )

     a0  =  q     (  3d  )

     F  (  x  )  =  x  ³  -  9  x  ²  +  (  q  -  10  )  x  +  q      (  3e  )

     Was uns noch fehlt, ist der ===>  Leitkoeffizient k ; gleich wirst du sehen, warum ich den nicht ernst nehme. Effektiv haben wir das Problem reduziert auf die eine Unbekannte q .

       f  (  x  )  :=  k  F  (  x  )     (  4a  )

       f  (  6  )  =  4        (  4b  )

         k  [  216  -  324  +  6  (  q  -  10  )  +  q  ]  =  4         (  4c  )

         k  (   7  q  -  168  )  =  4           (  4d  )

       Jetzt die Ableitung  von ( 3e )

      f  '  (  x  )  =  k  (  3  x  ²  -  18  x  +  q  -  10  )             (  5a  )

      f  '  (  3  )  =  (  -  2  )       (  5b  )

          k  (  27  -  54  +  q  -  10  )  =      (  5c  )

       =  k  (  q  -  37  )  =  (  - 2  )      (  5d  )

   Siehst du; mit dem Divisionsverfahren   ( 4d )  :  ( 5d )   wirst du dieses k los.

                7 q - 168

        ------------------------------    =   2        (  6a  )

                 37 - q

          7  q  -  168  =  74  -  2  q        (  6b  )

        9  q  =  242  ===>  q  =  242/9          (  6c   )

    Dann folgt für k in ( 5d )

         k  (  242/9  -  37  )  =  (  -  91/9  )  k  =  (  -  2  )  ===>  k  =  18/91      (  7a  )

     Ich    setze nochmal q  ( 6c ) ein in   ( 3e )

      F  (  x  )  =  x  ³  -  9  x  ²  +  152/9  x  +  242/9      (  3e  )

    so dass  zusammen mit  ( 7a ) heraus kommen sollte

      f  (  x  )  =  18/91  x  ³  -  162/91  x  ²  +  304/91  x  +  484/91      (  7b  )

   Die Zahlen sind voll gefic kt; aber nur eine einzige Unbekannte.

   In der  Hochschule würde ja das Professörchen deinen Lehrer beißen.

   Wer sagt dir, dass ein LGS mit vier Unbekannten nicht ===> schlecht kditioniert ist ===> lineare Abhängigkeit?

Comments

Auf jeden Fall, danke für deine Antwort. Wie oben erwähnt ist bei mir dasselbe Ergebnis rausgekommen, nur dachte ich nicht, dass es richtig ist. Und bei uns in Österreich sagt man zu so einem Beispiel im Rahmen der Kurvendiskussion, Umkehraufgabe. 

Answer 4

Hinweis wie du deine Ergebnisse kontrollieren
kannst

Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f(-1)=0
f(6)=4
f'(3)=-2
f''(3)=0

ein ( Die 4 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

Da du offentsichtlich nicht nur mit " reiner "
Mathematik sondern auch mit Physik zu tun
hast :
Bei sehr vielen physikalischen Berechnungen
wird mit Meßwerten gerechnet. Dies sind meist
keine " schönen " Zahlen und die Ergebnisse
auch nicht.