Leselampe - Umgekehrte Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:

Der flexible Arm einer Leselampe ist zunächst negativ, dann positiv gekrümmt. Ermittelt geeignete Funktionsterme, die den Verlauf im jeweiligen Abschnitt annähern.
(1) Im Bereich der positiven Krümmung (grün) verläuft der Graph durch den Tiefpunkt T (4,1 | 0) und den Punkt P (6,6 | 1,5).
(2) Im Bereich der negativen Krümmung (rot) verläuft der Graph durch den Hochpunkt H (0 | 2,5). Die beiden Graphen berühren einander an der Stelle x = 1,5 im Punkt B. Das heißt, dass y-Koordinate und Tangentenanstieg an dieser Stelle bei den beiden Graphen übereinstimmen. Der Grad der Polynomfunktion ist 3, da 4 unabhängige Bedingungen erfüllt sein müssen.

(auf dem dynamischen Arbeitsblatt „Leselampe“ ist die Funktion bzw. Abbildung)

Lösung sollte lauten: f(x)= 0,24x^2 - 1,97x + 4,03

Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich f(4,1)=0 gerechnet —> I: 68,921a+16,81b+4,1c+d=0. Dann f‘(4,1)=0 —> II:  50,43a+8,2b+c. Danach f(6,6)=1,5 —> III: 287,496a+43,56b+6,6c+d= 1,5. Danach die negative Kümmung. Zuerst habe ich f(0)= 2,5 gerechnet —> IV: d= 2,5 und zum Schluss f‘(0)=0 —> V: c=0. Ich habe dann beim zweiten Gleichungssystem (also 50,43a+8,2b=0) nach b umgeformt und erhielt b= 6,15a und hab das dann im Gleichungssystem I und III eingesetzt. Dadurch erhielt ich dann 172,3025a+2,5=0 und III: 555,39a+2,5=1,5. Hab das dann subtrahiert und erhielt -383,0875a=-1,5 und wollte nach a umformen, aber erhielt nicht die richtige Zahl :/

Comments

auf dem dynamischen Arbeitsblatt „Leselampe“ ist die Funktion bzw. Abbildung

Und wieso stellst Du die Abbildung nicht zur Verfügung?

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Ich weiß nicht wie das geht, sonst hätte ich es logischerweise gemachtes

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Wenn Du die Frage nicht einstellen kannst, dann sollst Du sie nicht einstellen. Weil man die Frage nur vollständig versteht, wenn sie vollständig gestellt wird.

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Die Aufgabe ist in meinem Schulbuch ist ebenso ohne Abbildung gestellt. Die Abbildung dient jeglich zur Orientierung beziehungsweise Hilfestellung.

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https://c.wgr.de/f/verlage/westermanngruppe-at/dimensionen-mathematik/_dim7/materialien/02_Differentialrechnung_Grundlagen/11_UmkehrUndModellbildungsaufgaben/02_11_leselampe.html

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Wenn du Fotos nicht einstellen willst / kannst
dann schicke mir eine e-mail mit dem Foto als
Anhang ( Datei format jpg - Datei )

Ich stelle diese dann gefahrlos für dich ein.

georg,hundenborn@t-online.de

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Oben habe ich ein Link zu einer Skizze eingestellt.

Answer 1

Du schreibst:

Danach die negative Krümmung. Zuerst habe ich f(0)= 2,5 gerechnet —> IV: d= 2,5 und zum Schluss f‘(0)=0.

Ich hätte für die negative Krümmung das Funktionssymbol g gewählt, da es vermutlich eine andere Funktion f sein soll.

Answer 2

Bereich der negativen Krümmung (rot):

H(0|2,5)

n(x)=a*x^2+2,5

Bereich der positiven Krümmung (grün):

T(4,1|0)  P(6,6|1,5)

p(x)=b*(x-4,1)^2

p(6,6)=b*(6,6-4,1)^2=6,25b

6,25b=1,5        b≈0,24

p(x)=0,24*(x-4,1)^2

Berechnung des "a" bei  n(x)=a*x^2+2,5  bei x=1,5

p(1,5)=n(1,5)

0,24*(1,5-4,1)^2=a*1,5^2+2,5        a≈-0,39

n(x)=-0,39*x^2+2,5

Comments

Asoo also sind das eigentlich Funktionen zweiten Grades, aber ergeben „zusammen“ eine Funktion 3. Grades?

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Ja , das sieht so aus, versuche daraus eine Parabel 3. Grades zu finden.

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Leider wirst du da aber nicht erfolgreich sein, weil der Punkt B zum Wendepunkt werden würde, das geht aber nicht, da der Tiefpunkt bei T(3|0) liegen müsste.

Answer 3

Hier meine Lösung

~plot~ -0.4051x^2+2.5;0.0009826x^3+0.2255x^2-1.898x+3.925;{0|2.5};{1.5|1.589};{4.1|0};{6.6|1.5};[[-1|8|-1|6]] ~plot~

Comments

Warum änderst du f2 ? Das hatte Mo immerhin richtig. (Lösung war ja auch gegeben)

(Kontrolle : f1(x) = -584/16875x^3 - 634/1875x^2 + 2,5)

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Man soll zwei Funktionen finden, die folgende 7 Bedingungen erfüllen

f(0) = 2.5
f'(0) = 0
f(1.5) = g(1.5)
f'(1.5) = g'(1.5)
g(4.1)  = 0
g'(4.1)  = 0
g(6.6) = 1.5

Ich hatte hier f(x) als Polynom 2. Grades und g(x) als Polynom 3. Grades modelliert, weil g(x) eine Bedingung mehr erfüllen muss.

Allerdings habe ich mir das auch so unnötig kompliziert gemacht und ich sehe auch jetzt erst, das der Satz "Der Grad der Polynomfunktion ist 3, da 4 unabhängige Bedingungen erfüllt sein müssen." sich auf den roten Teil beziehen soll.

Anders herum ist es natürlich viel einfacher, weil man die Parabel direkt bestimmen kann und dann auch die Funktion dritten Grades direkt berechnen kann.