Ich habe folgendes Problem zu Betragsungleichungen mit Bruch. Und zwar möchte ich folgende Aufgabe berechnen:
$$ \frac { |3x+6| }{ x-2 } \ge x $$
Ich bin bei Brüchen hingegangen und habe einmal den Zähler in 2 Fälle unterschieden also mit den Bedingungen
$$x\ge -2$$
für den Fall, dass der Zähler positiv ist und
$$x<-2$$
für den Fall, dass der Zähler negativ ist.
Soweit so gut. Beim Nenner habe ich allerdings das selbe gemacht. Ich bin da also hingegangen und habe für den negativen Fall des Nenners, diesen in Klammern gesetzt und ein Minus davor geschrieben. Ich hatte dann für diesen Fall
$$\frac { 3x+6 }{ -(x-2) } \ge x$$
daraus gemacht, was aber (wie ich mittlerweile weiß) falsch ist. Richtig wäre ja, dass das Relationszeichen einfach nur gedreht wird, also:
$$\frac { 3x+6 }{ x-2 } \le x$$
Jetzt habe ich allerdings das Problem, dass ich keine einzige Bruchungleichung in dieser Form mehr gelöst bekomme und ich finde einfach meinen Fehler nicht.
Mein 1. Fall wäre
$$\frac { 3x+6 }{ x-2 } \ge x$$ mit der Bedingung $$x\ge -2\quad \wedge \quad x>2$$
Diese Gleichung aufgelöst nach $$0\ge x²-5x-6$$
und über die pq-Formel
$$x1\le 6\quad \vee \quad x2\le -1$$
ermittelt.
Mein 2. Fall (Zähler positiv, Nenner negativ) geht nicht auf, da die Diskriminante < 0 ist.
$$\frac { 3x+6 }{ -(x-2) } \ge x\quad für\quad x\ge -2\quad \wedge \quad x<2$$
Mein 3. Fall (Zähler negativ, Nenner positiv) schließt sich über die nicht erfüllbare Bedingung aus.
$$\frac { -(3x+6) }{ x-2 } \ge x\quad für\quad x<-2\quad \wedge \quad x>2$$
Mein 4. Fall (Zahler und Nenner negativ) ergibt die selbe Lösung wie im ersten Fall.
$$\frac { -(3x+6) }{ -(x-2) } \ge x\quad für\quad x<-2\quad \wedge \quad x<2$$
Und zum Schluss sei nochmal erwähnt: So, wie ich die vier Fälle am Ende beschrieben habe, komme ich auf die richtige Lösung. Berechne ich die Fälle indem ich bei negativem Nenner das Relationszeichen drehe, komme ich nichtmal ansatzweise auf die Lösung und hier weiß ich einfach nicht mehr weiter.
