10 von 20 Zahlen werden gezogen

Question

Mir schwirrt der Kopf :). Fragt mich gerade meine Tochter: Wenn 10 von 20 Zahlen gezogen werden, wie viele Zahlenkombinationen muss ich ankreuzen um sicher zu gewinnen?

Ich: Keine Ahnung!

Weiß es jemand von euch?
Danke

Answer 1

um so etwas zu lösen, kann man den Binomialkoeffizienten benutzen.
Beim Lotto (6 aus 49) würde man beispielsweise rechnen:
(49 über 6) = 44 * 45 * 46 * 47 * 48 * 49 / 6 / 5 / 4 / 3 / 2 / 1 = 13.983.816

So viele verschiedene Ziehungsergebnisse sind möglich!

In Ihrem Beispiel entsprechend:
(20 über 10) = 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 / 10 / 9 / 8 / 7 / 6 / 5 / 4 / 3 / 2 / 1 = 184.756

Man müsste also 184 756 Zahlenkombinationen ankreuzen, um mit Sicherheit zu gewinnen.

Besten Gruß

Answer 2

Nun, es gibt ( 20 über 10 ) verschiedene Möglichkeiten, aus 20 Zahlen 10 zu ziehen.

( 20 über 10 ) ist ein sogenannter "Binomialkoeffizient" (googeln!).
Er ist definiert als:

( n über k ) = n ! / ( k ! * ( n - k ! ) )

wobei n ! die "Fakultätsfunktion" ist, also n ! = 1 * 2 * 3 * ... * n

Daher gilt:

( 20 über 10 ) = 20 ! / ( 10 ! * ( 20 - 10 ) ! )

= 20 ! / ( 10 ! * 10 ! )

= 184756

Ein kleineres Beispiel:

Wenn 2 Zahlen von 5 Zahlen gezogen werden, gibt es dafür

( 5 über 2 ) = 5 ! / ( 2 ! * ( 5 - 2 ) ! )

= 120 / ( 2 * 6 )

= 10

verschidene Möglichkeiten, nämlich: 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 3,4 ; 3,5 ; 4,5