Integralrechnung mit der Substitution einer quadratischen Gleichung

Question

möchte folgendes Integral lösen:

Integral(1/(1-x^2))^0,5 dx

1. Substitution: u=1-x^2, daraus folgt: du/dx=-2x; dx=du/-2x

daraus folgt: für x=(1-u)^0,5; in oberste Gleichung einsetzen, daraus folgt:

Integral -1/u^0,5*1/(2*(1-u)^0,5)du, daraus folgt:

Integral 0,5*1/(u^2-u)^0,5 du

2. Substitution: z=u^2-u; u^2-u-z=0, quadratische Gleichung: u=0,5+-(0,25+z)^0,5 und dz/du=2u-1, du=dz/(2u-1)

daraus folgt: Integral 0,5*z^-0,5du=Integral 0,5z^-0,5dz/(2u-1)=Integral 0,5*1/z^0,5*1/((2*(0,5+-(0,25+z)^0,5)-1)dz; daraus folgt:

Integral 0,5*(z+4z^2)^-0,5dz, daraus folgt: per "Hand" ermittelte Lösung durch Rechenprogramm:

0,5*(ln(4z+1)^0,5+2(z)^0,5) und dann Rücksubstituieren!

meine Frage, ist dies alles richtig und kann man die Substitution eventuell etwas günstiger gestalten?

Comments

die Substitutionen müssten stimmen und auch die Auflösung der quadratischen Gleichung ist richtig, habe dies mit y=x^2-x bzw. 0=x^2-x-y durchgeführt

Answer 1

Hallo

deine 2 Substitutionen führen fast wieder auf das ursprüngliche Integral, vereinfachen also nicht. deine letzte Rechnung kann ich nicht nachvollziehen.

wegen $$1-\sin^2(x)=\cos^2(x)$$

setzt man x=sin(u), dx=cos(u)*du und hat damit ein sehr einfaches Integral, wenn man nicht schon die Ableitung von arcsin(x) kennt.

Gruß lul