1. Ableitung von q(x)=arccos (1/x)

Question

1. Ableitung bilden von q(x)=arccos (1/x)

Bitte ein ausführliche Rechnung

Answer 1

Wird wohl so sein

1. Ableitung bilden von q(x)=arccos (1/x)

Abl. von arccos(x) ist ja   -1  / √(1-x^2) .

Also mit Kettenregel

q ' (x)  =   -1  / √(1-(1/x)^2)   *  Abl. von 1/x

           =  -1  / √(1- 1/x^2)   *     -1 /x^2

           = 1 /  ( x^2 *  √(1- 1/x^2) )

           = 1 /    √(x^4 - x^2 ) 

Comments

Lösung soll sein (1/x√x^2−1)

---

Na dann form halt weiter um:

1 /    √(x^4 - x^2 ) 
 =  1 /    √(x^2*(x^2 - 1 ) )

=  1 /   ( √(x^2)*√(x^2 - 1 ) )

Aber Achtung  √(x^2) = x stimmt nur für x≥0, allgemein

wäre es dann

=  1 /   (  |x| *√(x^2 - 1 ) )

---

hier nochmal ein genauer betrachtet 

Answer 2

  Da würde sich vielleicht ===> implizites Differenzieren empfehlen.

           y  :=  arccos  (  1  /  x  )       |   cos     (  1a  )

   

      Definitionsbereich beachten;    du hast zwei Zweige  x  <  =  (  -  1  )  so wie  x  >  =  1

        cos  (  y  )  =  1 / x     |    *  x      (  1b  )

      x  cos  (  y  )  =  1      (  1c  )

       Jetzt ableiten mittels Produkt-und Kettenregel

       cos  (  y  )  -  x  y  '  sin  (  y  )  =  0    (  2a  )

     Den Kosinusterm rücksubstituieren aus ( 1b )

          1 / x  -  x  y  '  sin  (  y  )  =  0  |  *  x           (  2b  )

           x  ²  y  '  sin  (  y  )  =  1     (  2c  )

    Aus (  1b ) folgt ferner durch Pythagoras

     sin  (  y  )  =  sqr  (  1  -  1 / x ²  )     (  3a  )

     Aufpassen mit dem Vorzeichen; Zielmenge von arccos ist   [   0  ;  Pi  ]   Auf diesem Intervall ist der Sinus positiv.

        x  y  '  sqr  (  x  ²  -  1  )   =  1        (  3b  )