Kombinatorik: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Hefte einzubinden?

Question

Aufgabe:

In einem Fach wird ein Formel- und ein Schreibheft geführt. Es gibt Heftumschläge in 7 verschiedenen Farben. Leider hat der Lehrer vergessen zu sagen, welche Farben für die Umschläge verwendet werden sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn

1. Formel- und Schreibheft immer verschiedenfarbig eingebunden werden sollen?

2. die Hefte auch in der gleichen Farbe eingebunden werden können.

Mein Ansatz:

zu 1:

Das ist "ungeordnet, ohne Wiederholung der Elemente":$$ A=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} $$ Wir haben n=7 und k=2 also:$$ A=\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} =21 $$ zu 2: Ich denke, dass das ungeordnet, mit Wiederholung der Elemente ist, also:$$ A=\begin{pmatrix} n+k-1 \\ k\end{pmatrix}  $$ Aber da kommt nichts richtiges raus mit n=7 und k=2 muss ich vielleicht an den gegeben sachen was umstellen?

Comments

Es geht um 2 Hefte: 7*6 bzw. 7*7

Answer 1

In einem Fach wird ein Formel- und ein Schreibheft geführt. Es gibt Heftumschläge in 7 verschiedenen Farben. Leider hat der Lehrer vergessen zu sagen, welche Farben für die Umschläge verwendet werden sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn

1. Formel- und Schreibheft immer verschiedenfarbig eingebunden werden sollen?

7 * 6 = 42

2. die Hefte auch in der gleichen Farbe eingebunden werden können.

7 * 7 = 49

Comments

Was ich meinen Schülern immer wieder rate.

DENKT NICHT IN FORMELN !!!

Versucht euch das vorzustellen. Notfals vereinfacht euch die Situation.

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Ich arbeite sehr gerne nach einem vorgeschriebenen Muster. Das kann doch nicht so schwer sein so dumme Formel zu verstehen und zu wissen wann man sie anwendet. :(

$$A=\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 2!=42$$

Die Nummer zwei ist ohne Formel viel logischer!

7 Farben für das eine und 7 für das andere.

7*1+7*1=49

Aber im Prinzip ist es doch ungeordnet (ist doch egal welche Reihenfolge) und mit wiederholung der Elemente.

Warum ist die Formel denn falsch!!!! Ich krieg die Krise

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"Aber im Prinzip ist es doch ungeordnet (ist doch egal welche Reihenfolge) und mit wiederholung der Elemente."

Natürlich ist rot fürs Formelheft und blau fürs Schreibheft etwas anderes als blau fürs Formelheft und rot fürs Schreibheft.

Die Reihenfolge spielt natürlich eine Rolle.

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PS:

Ich hätte bei der a) "geordnet, ohne Wiederholung" anwenden müssen. WO IST DAS BITTE GEORDNET!!!

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Welche Formel muss ich denn bei der 2. anwenden, dann pfeile ich etwas an meiner Formulierung

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n^k

7^2 = 49

du schlägst k = 2 Hefte ein und für jedes Heft hast du n = 7 Optionen (Farben)

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Anfang der 2. Klasse bittet die Klassenlehrerin für 5 Fächer jeweils ein Heft anzulegen. Es gibt stehen Umschläge in 7 verschiedenen Farben zur Verfügung.

Wie viele Möglichkeiten hat Fritz, wenn alle Hefte eine unterschiedliche Farbe haben sollen und Mathe auf jedenfall rot eingeschlagen werden soll.

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Wie viele Möglichkeiten hat Fritz, wenn alle Hefte eine unterschiedliche Farbe haben sollen und Mathe auf jedenfall rot oder blau eingeschlagen werden soll.

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Wie viele Möglichkeiten hat Fritz, wenn mind. 2 verschiedene  Farben benutzt werden sollen und Mathe auf jedenfall rot oder blau eingeschlagen werden soll.

...

Du siehst eventuell das man die Probleme beliebig schwierig gestalten kann. Wer in Formeln denkt und sich das Problem nicht vorstellen kann kann gleich Aufgeben.

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Wie viele Möglichkeiten hat Fritz, wenn alle Hefte eine unterschiedliche Farbe haben sollen und Mathe auf jedenfall rot eingeschlagen werden soll.

Ich bin mir zwar unsicher, aber:

1*1+(6 über 4)*4!=361?

1*1 Matheheft

Wie viele Möglichkeiten hat Fritz, wenn alle Hefte eine unterschiedliche Farbe haben sollen und Mathe auf jedenfall rot oder blau eingeschlagen werden soll.

Ach du sch***, hmm:

Das schaff ich nicht, noch nicht.

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Das erinnert mich eher an eine EXCEL Wenn-Dann Aufgabe und nicht an Kombinatorik.

Wie soll ich denn einberechnen, ob für Mathe jetzt rot oder blau verwendet wurde.

Das wäre mein bester Vorschlag:

(1+2!)+(6 über 4)*4!=363

Aber das kann doch gar nicht sein, oder

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Wie viele Möglichkeiten hat Fritz, wenn alle Hefte eine unterschiedliche Farbe haben sollen und Mathe auf jedenfall rot oder blau eingeschlagen werden soll.

2 * (6 über 4) * 4! = 720

Das war aber eher keine Aufgabe die Du rechnen solltest sondern nur ein Beispiel warum es ungünstig ist in Formeln zu denken.

An erster Stelle sollte immer eine Visualisierung des Problems stehen.

Vermutlich hast du auch noch nicht das Fundamentalprinzip der Kombinatorik gelernt oder?

Das sollte eigentlich das Grundfundament sein auf dem man aufbaut und nicht die 4 Formeln für Ziehungen.

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Hmm, was für ein Fundamentalprinzip?

Bei Aufgabe wie dieser:

Nimm an, du hast zwei rote und drei blaue Bausteine, die untereinander nur durch die Farbe unterschieden werden können. Wie viele Möglichkeiten gibt es, damit einen vier Steine hohen Turm zu bauen?

Fällt es mir recht einfach!

Das ist Permutation mit Wiederholung.

5!/(2!*3!)=10 Möglichkeiten

Aber meistens raff ich nicht welche Formel ich wann anwenden soll. Und logisch denken kann ich bei Aufgabe wie

Wie viele Möglichkeiten hat Fritz, wenn alle Hefte eine unterschiedliche Farbe haben sollen und Mathe auf jedenfall rot oder blau eingeschlagen werden soll.

auch nicht mehr.

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Oder:

5 Äpfel sollen an 3 Kinder verteilt werden. Auf wie viele Arten ist das möglich?

n=3

k=5

$$A=\begin{pmatrix} 3+5-1 \\ 5\end{pmatrix}=21$$

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5 Äpfel sollen an 3 Kinder verteilt werden. Auf wie viele Arten ist das möglich?

Diese Formel ist ohnehin erst ab Studium verbindlich vorgeschrieben und noch nicht auf dem Gymnasium.

https://www.youtube.com/watch?v=mq_oU8OBKCo

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das Video ist echt mega!

Habe mir das ausm Video notiert und habe es verstanden:

>Auf wie viele Arten kann man 7 Hotelgäste in 10 freien Einzelzimmern unterbringen?

Welche Formel?

Schritt 1:

Wie viele Wahlmöglichkeiten gibt es im ersten Schritt; wie viele im zweiten etc.?

Wenn sich die Zahl der Optionen pro Schritt ändert:

Ohne Zurücklegen 

also kommen die Formeln  A=(n über k)*k! und A=(n über k) infrage.

Wenn sich die Zahl der Optionen nicht pro Schritt ändert, dann:

Mit Zurücklegen 

also kommen die Formeln n^k und A=(k+n-1 über k) infrage.

Schritt 2:

Hat man nach einer Reihenfolge eine wirkliche Veränderund, oder ist es eigentlich dasselbe?

Im Video schön dargestellt:

Die Frage zu beantworten kommt ganz auf den Zusammenhang an und muss in der Frage sein. Es kann sein, dass es relevant ist die Donuts so zu sortieren, weil z.B jemand sonst austickt oder durch irgendwelche anderen banalen Gründe.

Macht es etwas aus? ---> geordnet (Reihenfolge spielt eine Rolle)

Macht es nichts aus? → ungeordnet (Reihenfolge spielt keine Rolle)

Um Auf die Frage zurückzukommen:

Es werden pro Schritt immer weniger Wahlmöglichkeiten (Wenn ein Individuum einem Zimmer zugeteilt wird, sind es immer eine Option weniger). Also schonmal "ohne Zurücklegen"

Ist es vielleicht eigentlich dasselbe?

Nein! Es macht etwas aus, wer auf welches Zimmer verteilt wird.

Das heißt ---> geordnet.

Conclusion:

Wir müssen also geordnet, ohne Zurücklegen verwenden:$$ A=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot k! $$ Wir können  n=10, k verschiedene Möglichkeiten zuteilen, also: $$A=\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix} \cdot 7! = 604800$$

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Bisschen härter wird es hier:

Fur das Elfmeterschießen muß der Trainer 5 der 11 Spieler auf dem Platz benennen. Wie viele Möglichkeiten
hat er bei
(a) der Bestimmung der Kandidaten?

Das erste ist einfach:

Natürlich Ohne Zurücklegen.

Aber macht es was aus, wer als erstes und wer als letztes schießt? Hmm.

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Bisschen härter wird es hier:

Fur das Elfmeterschießen muß der Trainer 5 der 11 Spieler auf dem Platz benennen. Wie viele Möglichkeiten
hat er bei
(a) der Bestimmung der Kandidaten?

Das erste ist einfach:

Natürlich Ohne Zurücklegen.

Das reine Benennen ist ohne Reihenfolge

(11 über 5).= 462 Möglichkeiten

Wird bei der Benennung schon die Reihenfolge vorgegeben dann sind es

(11 über 5) * 5! = 55440 Möglichkeiten

Es kommt häufig vor, dass die Aufgabenstellung nicht präzise genug ist. Gerade wenn die Lehrer selber nicht richtig fit in der Stochastik sind.

Wenn etwas unklar ist, dann sollte man nachfragen oder sagen wie man es verstehen könnte und für welchen Fall man es berechnet hat.

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Jetzt muss ich nur noch wissen, wann man Permutation verwendet.

Aber langsam kriege ich ein Gefül dafür

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"Jetzt muss ich nur noch wissen, wann man Permutation verwendet."

Immer wenn es um die Möglichkeiten der Anordnung einer Anzahl von Objekten geht.

Das ist ja z.B. schon bei 5! der Fall.

Tim besitzt vier Kriminalromane, fünf Abenteuerbücher und drei Mathematikbücher.
a) Wie viele Möglichkeiten der Anordnung in seinem Buchregal hat Tim insgesamt? [479001600]
b) Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es, wenn die Bücher thematisch nicht vermischt werden dürfen? [103680]

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a)

4!+5!+3!=150

b)

3!=6

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Achso, das sind Lösungen.

a) (4+5+3)!=479001600

b) keine Ahnung

Ich denke mir nur immer, das kann doch eigentlich gar nicht sein. Als ob es so viele Möglichkeiten gibt.

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Und wenn Tim mit seinen popeligen 11 Büchern schon so viele Möglichkeiten hat, wie viele Möglichkeiten hat man dann bei einer ganzen Bücherwand ...

OMG ...

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Eigentlich sollte man bei der b) Permutation mit Wiederholung verwenden.

Aber ich komme nicht auf das Ergebnis.

n=12 (5+4+3)

k_mathe=3

k_abenteuer=5

k_krimi=4

Dann sollte man doch eigentlich

12!/(5!*4!*3!)=27720

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12! / (5! * 4! * 3!) = 27720

Das ist unsinnig.

Das wären die Möglichkeiten die du hast bei 5 roten, 4 grünen und 3 blauen Büchern, wo du Bücher einer Farbe nicht mehr voneinander unterscheiden kannst. Wobei hier die Bücher auch nicht farblich sortiert stehen sollen.

Was du also machst ist wieder nur deine Formeln durchzugehen und auf Teufel komm raus dein Problem in eine der gegebenen Formeln zu pressen.

DENK NICHT IN FORMELN

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Was heißt denn "thematisch vermischt"?

Mathe=M

Abenteuer=A

Krimi=K

Das wäre nicht-thematisch vermisch:

MMM AAAA KKKKK

oder was?

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Aber hier ist es doch auch so:

Bestimme die Anzahl der Permutationen, die aus allen Buchstaben jedes einzelnen
Wortes gebildet werden können: 1.Welle  2.Kellertür 3.Lappland

1)

1x W    2x l   2x e

5!/(2!*2!)=30

2)

1x K   2x e   2x l  1x t 1x ü 2x r

9!/(2!*2!*2!*1!*1!*1!)=45360

3)

2x l 2x a 2x p 1x n 1x d

8!/(2!*2!*2!)=5040

Das kann man doch einfach auf die Bücher übertragen?

3x Mathe 4x Krimi 5x Abenteuer

oder nicht?

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Richtig. Thematisch nicht vermischt bedeutet das Bücher eines Themas direkt zusammen stehen.

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Die 2 L's in WELLE kannst du nicht unterscheiden. Die 3 Mathebücher kannst du aber unterscheiden.

Merke. In der Regel hat kein Schüler doppelte Bücher im Regal.

Außer vielleicht ich. Weil einige Mathebücher so spannend sind, dass man sie unbedingt mehrfach haben muss.

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Dann gibt es meiner Meinung nach nur 6 Möglichkeiten, die anzuordnen.

MMM KKKKK AAAA

KKKKK MMM AAAA

MMM AAAA KKKKK

AAAA KKKKK MMM

KKKKK AAAA MMM

AAAA MMM KKKKK

Und das wars.

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Du kannst doch alle Mathebücher untereinander auch anders anordnen. Weil sie unterschiedlich sind macht das doch einen Unterschied.

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Tim besitzt vier Kriminalromane, fünf Abenteuerbücher und drei Mathematikbücher.
b) Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es, wenn die Bücher thematisch nicht vermischt werden dürfen? [103680]

Man hat also folgende Bücher

K1 K2 K3 K4 A1 A2 A3 A4 A5 M1 M2 M3

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Achsou,

(5!*3!*4!)*3!=103680

Ich guck mir Permutation noch einmal genauer an

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Genau. Wie gesagt es bringt nichts immer nur die Formeln durchzugehen und zu sehen welche passt. Sondern man muss das eigentlich Problem was gefragt wird verstehen.

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Ich verstehe eigentlich jede Aufgabe, die nicht was mit Permutation zutun hat.

Also Permutation und das:

n₁*n₂

verstehe ich auch nicht ganz. Also wann man das anwendet

3 Donuts 3 Glasuren 3 Toppings

3*3*3=27 Möglichkeiten für Donuts

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Stell dir vor zu Willst auf dem Weg zur Schule beim Bäcker vorbei gehen und du hast von dir zu Hause 3 Wege zum Bäcker und vom Bäcker 4 Wege zur Schule.

Auf wie vielen Möglichkeiten kannst du zur Schule gehen.

Dein Chinarestaurant hat heute ein Super-Angebot für ein Menü nach Wahl. Du kannst unter 3 Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 3 Nachtischen wählen.

Auf wieviele Möglichkeiten kannst du das Menü zusammenstellen.

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Jetzt hab ich Lust Chinesisch zu essen :(

Stell dir vor zu Willst auf dem Weg zur Schule beim Bäcker vorbei gehen und du hast von dir zu Hause 3 Wege zum Bäcker und vom Bäcker 4 Wege zur Schule.

3*4=12 Wege

Dein Chinarestaurant hat heute ein Super-Angebot für ein Menü nach Wahl. Du kannst unter 3 Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 3 Nachtischen wählen.

3*4*3=36 Möglichkeiten

Das ist eigentlich nicht schwer, man muss halt nur wissen, wann es verwendet wird.

Ich denke, dass man das anwendet, wenn man nur "n" hat und das mehrmals.

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Kurz nochmal wegen

Das wären die Möglichkeiten die du hast bei 5 roten, 4 grünen und 3 blauen Büchern, wo du Bücher einer Farbe nicht mehr voneinander unterscheiden kannst. Wobei hier die Bücher auch nicht farblich sortiert stehen sollen.

Ein Zug besteht aus 4 Wagen der 1. Klasse, 7 Wagen der 2. Klasse, 1 Speisewagen, 2 Gepäckwagen. Wieviele unterscheidbare Wagenfolgen sind möglich

(a) wenn die Wagen beliebig eingereiht werden dürfen?

Wieso kann ich hier Permutation mit Wiederholung anwenden?$$\frac{14!}{4! \cdot 1! \cdot 7! \cdot 1 ! \cdot 2!} = 360360 $$

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Man geht davon aus das du die Wagen der 1. Klasse untereinander nicht unterscheiden kannst.

Ich würde eher Sagen Permutation mit nicht unterscheidbaren Objekten.

Du hast also folgende Objekte die du anordnen möchtest

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 S G G

(4 + 7 + 1 + 2)! / (4!·7!·1!·2!)

Denk also dabei an W E L L E

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Ich habe mich ganz vergessen zu bedanken!!! Vielen Dank bisher! Ich vestehe es allmählich! :)

Kannst du diese Aufgabe überprüfen?

In einer Urne sind Kugeln, die die Nummern von 1-5 tragen. Man greift in die Urne und zieht 3 Kugeln einmal heraus. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

Natürlich ohne zurücklegen, und unter beachtung der reihenfolge:

A=(5 über 3)*3!=60

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Man greift in die Urne und zieht 3 Kugeln einmal heraus.

Das Ziehen mit einem Griff bedeutet ohne Beachtung der Reihenfolge.

Daher nur (5 über 3) = (5 über 2) = 5 * 4 / 2 = 10

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Bitte die nächsten Fragen getrennt einstellen.

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Sorry, das war die a) mein Rechenweg ist für die b)

"Man kann sich den Vorgang auch so vorstellen: Die drei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen; anschließend aber beachtet man nicht mehr, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden."

Dann stimmts oder?

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Bitte die nächsten Fragen getrennt einstellen.

ok!