Welche Punkte auf g2 haben von P eine Entfernung von 2√66? Komme nicht zurecht...

Question

g2:X = (2/-2/2) + σ(-4/2/-6)

P(0/5/1)

Answer 1

Wähle σ so, dass (0/5/1) - ( (2/-2/2) + σ(-4/2/-6) ) die Länge 2√66 hat. Genauer gesagt:

Die Entfernung zwischen zwei Punkten A und B ist die Länge des Vektors zwischen A und B.

Den Vektor v zwischen zwei Punkten A(a₁|a₂|a₃) und B(b₁|b₂|b₃). berechnet man indem man die Ortsvektoren der Punkte subtrahiert:

(1)        v = (b₁-a₁  b₂-a₂  b₃-a₃).

Die Länge |v| eines Vektors v = (v₁ v₂ v₃) ist

        |v| = √(v₁²+v₂²+v₃²).

In deiner Aufgabe ist A = P und B ein noch nicht genau bekannter Punkt auf der Geraden. Setze in (1) ein und löse damit die Gleichung

        |v| = 2√66.

Answer 2

G = [2, -2, 2] + r·[-4, 2, -6] = [2 - 4·r, 2·r - 2, 2 - 6·r]

P = [0, 5, 1]

PG = G - P = [2 - 4·r, 2·r - 2, 2 - 6·r] - [0, 5, 1] = [2 - 4·r, 2·r - 7, 1 - 6·r]

|[2 - 4·r, 2·r - 7, 1 - 6·r]|^2 = (2·√66)^2

(2 - 4·r)^2 + (2·r - 7)^2 + (1 - 6·r)^2 = (2·√66)^2

16·r^2 - 16·r + 4 + 4·r^2 - 28·r + 49 + 36·r^2 - 12·r + 1 = 264

56·r^2 - 56·r - 210 = 0

r = 5/2 ∨ r = - 3/2

G1 = [2, -2, 2] + 5/2·[-4, 2, -6] = [-8, 3, -13]

G2 = [2, -2, 2] - 3/2·[-4, 2, -6] = [8, -5, 11]