Die Diagonale des Quadrats ist a sqr ( 2 ) Die Diagonale des Rechtecks ist
( a + 12 ) ² + a ² = [ 5 a sqr ( 2 ) ] ² = 50 a ² ( 1a )
48 a ² - 24 a - 144 = 0 | : ggt = 24 ( 1b )
a2 x ² + a1 x + a0 = 0 ( 2a )
a2 = 2 ; a1 = ( - 1 ) ; a0 = ( - 6 ) ( 2b )
Lösen tu ich diese quadratische Gleichung ( QG ) mittels des ===> Satzes von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Ich wurde schon ziemlich rüde angepflaumt, ich sei ein " Troll, eil ich nicht zur Kenntnis nehme, dass der SRN von Gauß " stamme. Das jeden Falls behaupten Wiki und verschiedene Lehrbücher.
Eine Fälschung, wie eine erdrückende Beweislast ergibt.
Darauf hin meldete sich ein zweiter Kommentator, der " SRN sei nachgewiesen mindestens ab 1975. Dass er auf Gauß zurück geht, habe ICH nie behauptet ... "
Ferner sei angemerkt: Der SRN wird auch immer falsch zitiert; sein Geltungsbereich beschränkt sich auf PRIMITIVE Polynome ( Warum? )
Noch in jener Woche im Jahre 2011, als ich vom SRN erfuhr, gelang mir der Beweis eines Zerlegungssatzes für QG
KOROLLAR zum SRN ( Zerlegungssatz )
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Gegeben sei eine QG in primitiver Form analog ( 2a ) Seien ferner ihre Wurzeln
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 3a )
Wie Üblich sei Darstellung ( 3a ) als gekürzt voraus gesetzt. Dann gelten die beiden Habakuk pq-formeln
p1 p2 = a0 = ( - 6 ) ( 3b )
q1 q2 = a2 = 2 ( 3c )
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Damit wird die Lösung einer QG zu einer kombinatorischen Aufgabe; die 6 hat die triviale Zerlegung 6 = 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 2 * 3 .
Fassen wir nur mal die erste Möglichkeit ins Auge; es ergeben sich wieder zwei Möglichkeiten. Sollen wir die 6 den Halben oder den Ganzen zuschlagen?
x1 = 1/2 ; x2 = 6 oder x1 = 6/2 ; x2 = 1 . Doch eben jene zweite Alternative verbietet sich von Selbst, weil wir ausfrücklich gefordert haben, dass die Darstellung ausgekürzt sein soll.
So gesehen kommen nur noch zwei Kandidaten in die engere Wahl. Hinreichende Bedingung, überlebenswichtig in jeder Klausur, ist stets Vieta p - an dieser Stelle benötige ich die Normalform von ( 2ab )
x ² - p x + q = 0 ( 4a )
p = 1/2 ; q = ( - 3 ) ( 4b )
p = x1 + x2 ( 4c )
| x1 | = 1/2 ; | x2 | = 6 ; | p | = 11/2 ( 4d )
| x1 | = 3/2 ; | x2 | = 2 ; | p | = 1/2 ( 4e ) ; ok
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen in ( 4c ) ; wegen p > 0 muss die betragsgrößere Wurzel positiv sein: x2 = 2 ( Die negative Wurzel ist natürlich unphysikalisch. )
Machen wir die Probe; das Quadrat mit Seitenlänge 2 cm hat eine Diagonale von d = 2 sqr ( 2 ) . Jetzt verlängern um 12
a ' = a + 12 = 14 = 2 * 7 ( 5a )
b ' = a = 2 = 2 * 1 ( 5b )
wie ihr seht, muss man einen ggt immer VOR die Pythagoraswurzel ziehen. Dann folgt für die Diagonale
d ' = sqr ( a ' 2 + b ' ² ) = 2 sqr ( 7 ² + 1 ² ) = 2 sqr ( 50 ) ( 5c )
sqr ( 50 ) = 5 sqr ( 2 ) ; ok ( 5d )
