Kurvendiskussion mit der vorgegebenen Funktion

Question

Bsp.: Diskutiere die durch f(x) = (x²-3x-4), x∈ℝ gegebene Funktion f.

1) Definitionsbereich, Verhalten an der Stelle der Unbestimmtheit

2) Verhalten im Unendlichen, Funktionsgleichung der Asymptoten,

Hinweis: die Gleichung der Asymptoten im Unendlichen ergibt sich aus dem linearen Teil von f(x).

3) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

4) Monotonie und Extrempunkte

5) Krümmungsverhalten, Wendepunkte

6) Graphische Darstellung x∈[-14;+10]

Comments

Sicher, dass die Funktion so richtig ist?

Warum dann die Klammern? Warum die Stelle der Unbestimmtheit untersuchen?

Answer 1

f(x) = (x^2 - 3x - 4)

So wäre das einfach eine nach oben geöffnete, verschobene Normalparabel.

Y-Achsenabschnitt, Nullstellen und Scheitelpunkt berechnen kann man in der 9 Klasse.

Wendepunkte gibt es bei einer Parabel nicht.

Comments

Sorry es sollte f(x) = (x²-3x-4) / (x+2) sein

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Funktion & Ableitungen
f(x) = (x^2 - 3·x - 4) / (x + 2)
f'(x) = (x^2 + 4·x - 2) / (x + 2)^2
f''(x) = 12 / (x + 2)^3

Definitionsbereich
D = R \ {- 2}

Polstelle / vertikale Asymptote
x = - 2

Verhalten an der Polstelle
lim (x --> - 2-) (x^2 - 3·x - 4) / (x + 2) = - ∞
lim (x --> - 2+) (x^2 - 3·x - 4) / (x + 2) = ∞

Schräge Asymptote
(x^2 - 3·x - 4) / (x + 2) = x - 5 + 6 / (x + 2) --> y = x - 5

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = - 2

Nullstellen f(x) = 0
x^2 - 3·x - 4 = 0 --> x = - 1 ∨ x = 4

Extrempunkte f'(x) = 0
x^2 + 4·x - 2 = 0 --> -2 ± √6 --> x = - 4.449 ∨ x = 0.4495

f''(- 2 - √6) < 0 --> HP
f(- 2 - √6) = - 2·√6 - 7 = - 11.90 --> HP(- 4.449 | - 11.90)

f''(- 2 + √6) > 0 --> TP
f(- 2 + √6) = 2·√6 - 7 = - 2.101 --> TP(0.4495 | - 2.101)

Wendepunkte f''(x) = 0
12 = 0 --> Keine Wendepunkte