Wie beschreibe ich die Kurvendiskussion bei einer Funktion?

Question

Thema: Kurvendisskusion

Ich weiß nich wie ich eine Funktion disskutieren soll (Es gibt keinen Graph oder Kurve zu der Funktion)?Muss ich bei Aufgabe B die Wendepunkte oder Extrema berechnen? Was muss ich bei Aufgabe C berechnen?

Könntet ihr mir bitte helfen.

Könntet ihr bei Aufgabe A bitte mir einen Hilfsatz geben.

Aufgaben:

A) Die Funktion f(x)=1/4X²-1/2X+2 soll diskutiert werden

B) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g(x)=-X²+4,5X-3 den Graph der Funktion f berührt

C) Wie lautet die Gleichung der gemeinsamen Tangenten im Behrürpunkt?

Comments

Ich weiß nich wie ich eine Funktion disskutieren soll

https://studyflix.de/mathematik/kurvendiskussion-3076/video

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Answer 1

Hallo,

A) Die Funktion f(x)=1/4X²-1/2X+2 soll diskutiert werden

Eine Kurvendiskussion umfasst mehrere Punkte, z.B.

- Definitionsbereich
- Nullstellen
- Monotonieverhalten
- Symmetrie
- Extrema
- Wendepunkte

Bei f(x) handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel, deren Graphen du dir leicht durch einen Funktionsplotter, wie beispielsweise Geogebra anzeigen lassen kannst.

Wenn du uns verrätst, welche Punkte der Kurvendiskussion ihr bereits besprochen habt, können wir dir auch einen Hilfsansatz geben.

B) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g(x)=-X²+4,5X-3 den Graph der Funktion f berührt

Du hast eine zweite Funktion g(x) und sollst zeigen, dass sich f und g in einem Punkt berühren. Ein Berührpunkt ist ein spezieller Schnittpunkt zweier Funktionen. Sie haben an dieser Stelle nicht nur den gleichen Funktionswert, sondern auch die gleiche Steigung.

Setze also die beiden Funktionen gleich, finde den Schnittpunkt, indem du diese Gleichung nach x auflöst und prüfe dann mit Hilfe der 1. Ableitung, ob auch die Steigung beider Funktionen in diesem Punkt dieselbe ist.

C) Wie lautet die Gleichung der gemeinsamen Tangenten im Berührpunkt?

Die allgemeine Form einer Geraden/Tangente hat die Form

y = mx + b

m ist die Steigung (die du hoffentlich erfolgreich unter B berechnet hast) und b der Schnittpunkt mit der y-Achse. Den kannst du ermitteln, indem du neben m auch die Koordinaten des Schnittpunktes in die Gleichung einsetzt und nach b auflöst.

Gruß, Silvia

Answer 2

A) Die Funktion f(x)=1/4X²-1/2X+2 soll diskutiert werden

Y-Achsenabschnitt
f(0) = 2

Nullstellen
f(x) = 0 → keine

Scheitelpunkt
f(x) = 0.25·x^2 - 0.5·x + 2 = 0.25·(x - 1)^2 + 1.75 → (1 | 1.75)

B) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g(x)=-X²+4,5X-3 den Graph der Funktion f berührt

f(x) = g(x)
0.25·x^2 - 0.5·x + 2 = - x^2 + 4.5·x - 3
1.25·x^2 - 5·x + 5 = 0
x^2 - 4·x + 4 = 0
(x - 2)^2 = 0 → x = 2 ist doppelte Nullstelle und damit ist es eine Berührstelle

C) Wie lautet die Gleichung der gemeinsamen Tangenten im Behrürpunkt?

f(2) = 2
f'(2) = 0.5

t(x) = 0.5·(x - 2) + 2 = 0.5·x + 1

Skizze

~plot~ 0.25x^2-0.5x+2;-x^2+4.5x-3;0.5x+1;{2|2} ~plot~

Answer 3

Eine Kurvendiskussion umfasst die Untersuchung einer Funktion auf besondere Punkte. Dazu zählen unter anderem die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. Gelegentlich soll noch das Verhalten im Unendlichen angegeben werden und eine Skizze des Graphen erstellt werden. Schaue bitte in deine Unterlagen, was ihr dazu notiert habt. Eine solche Untersuchung ist selbstverständlich auch rein rechnerisch und damit ohne Graph möglich.

Bei B) musst du zeigen, dass sich die Graphen der beiden Funktionen in einem Punkt berühren. Das bedeutet, dass sie dort 1. den gleichen Funktionswert haben und 2. die gleiche Steigung besitzen. Weise dies nach.

Bei C) nutze die allgemeine Form einer Geraden \(y=mx+b\). Berechne die Steigung über die erste Ableitung (solltest du aus B) bereits haben) und setze den Berührpunkt (ebenfalls aus B)) ein, um das \(b\) zu ermitteln.

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