Hallo,
a) Bestimmen Sie die Ableitungen f', f" und f‘‘‘
\(f(x)=(x-1)^2\cdot e^x\\ f'(x)=x\cdot e^x\\ f''(x)=(x+1)\cdot e^x\\ f'''(x)=(x+2)\cdot e^x\)
Melde dich, wenn du Erläuterungen zur Bildung der Ableitungen brauchst.
b) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen.
Setze f'(x) = 0 und löse nach x auf.
C) Die Funktion f hat ein Extremum und einen Wendepunkt. Wo liegen diese Punke?
Extremum:
Setze f'(x) = 0 und löse nach x auf.
Setze dein Ergebnis für x in f(x) ein, um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen.
Setze dein Ergebnis für x in f''(x) ein, um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunk handelt.
\(f''(x)<0\Rightarrow Hochpunkt\\ f''(x)>0\Rightarrow Tiefpunkt\\\)
Wendepunkt:
Setze f''(x) = 0 und löse nach x auf.
y-Koordinate: s. oben
Setze dein Ergebnis in f'''(x) ein, das Ergebnis muss ungleich null sein.
d) Untersuchen Sie das Verhalten von f für x -*
-∞ bzw. x -> ∞ mit einer Tabelle.
Zum Grenzwertverhalten schau dir dieses Video an.
Gruß, Silvia