Terme möglichst vereinfachen

Question

Aufgabe:

-e^{-0,1t}(0,2sin(100t)+cos(100t))+e^{-0,1t}(0,2cos(100t)-sin(100t)) vereinfachen…

Problem/Ansatz:

so weit als möglich vereinfachen.

Besten Dank

Answer 1

Klammere den Term \(\mathrm{e}^{-0,1t}\) aus und fasse alles zusammen, was zusammengehört (Distributivgesetz).

Comments

Danke für deine Antwort, aber ich sehe, dass sich ein Fehler in meine Aufgabe eingeschlichen hat: der Ausdruckt sollte anfangen mit -0,1e^...

Sorry für den Fehler, genau darum weiss ich nicht weiter ( so kann ich e^-(0,1t) nicht ausklammern).

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Bei deinem Ausdruck steht doch vorne ein Minus. Und trotzdem kannst du diesen Term ausklammern. Beachte \(-\mathrm{e}^{-0,1t}=(-1)\cdot \mathrm{e}^{-0,1t}\). Oder interpretiere ich deinen Ausdruck nun falsch? Dann solltest du bitte präzise erläutern, um welchen Ausdruck es jetzt genau geht.

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Nein, nein, du interpretierst richtig, der Ausdruck ist

-0,1e^{-0,1t}(0,2sin(100t)+cos(100t))+e^{-0,1t}(0,2cos(100t)-sin(100t))

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Dann verstehe ich nun aber deine Schwierigkeit nicht, denn so kannst du den entsprechenden Term doch ausklammern. Wenn es dir leichter fällt, kannst du das Minus ja auch in die Klammer ziehen. Es gilt \(-a(b+c)=a(-b-c)\).

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OK, danke, ich versuch's und melde mich wieder.

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Mach das gerne! :)

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Ich versteh's immer noch nicht!

Beim ersten e^... habe ich ein -0,1davor aber beim zweiten nicht.

Dann hätte ich, so wie ich es verstanden habe ein mal -0,1e^... und ein mal +e^...

Wie soll ich e^... ausklammern. ?

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Ich seh kein -0,1, sondern nur ein Minus.

Es gilt \(-ab+ac=a(-b+c)\).

Wenn da tatsächlich \(-0,1\) steht, dann gilt \(-0,1ab+ac=a(-0,1b+c)\).

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Eigentlich bestand die Aufgabe darin, folgenden Ausdruck abzuleiten

q' = d/dt e^-0,1t(0,2sin(100t) + cos(100t))

und ich wollte das Ergebnis möglichst vereinfachen.

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Dann stimmt dein Zwischenergebnis aber schon nicht. Denke daran, dass du auch beim Kosinus und Sinus die Kettenregel anwenden musst. Unabhängig davon funktioniert das Ausklammern aber dennoch, auch wenn da noch eine Zahl steht. Vergleiche:

\(3ab+ac=a(3b+c)\).

Du solltest dich da noch einmal mit dem Distributivgesetz auseinandersetzen.

Deine Ableitung kannst du unter https://www.ableitungsrechner.net/ überprüfen.

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das heisst ich sollte

e^-0,1t(-0,1*0,2sin(100t)+cos(100t) + 20cos(100t)-100sin(100t))  bekomen und dann weiter vereinfachen ?

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e^(-0,1t)(-0,1*0,2sin(100t)-0,1cos(100t) + 20cos(100t)-100sin(100t))

Wohl eher so. Und ja, dann musst du nur noch zusammenfassen.

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Ich bin ja soweit wie der Ableitungsrechner gekommen, nur hat er folgenden Ausdruck

e^-t/10(20cos(100t)-100sin(100t))-(e^-t/10(sin(100t)/5+cos(100t)))/10

und ich habe

e^0,1t(20cos(100t)-100sin(100t)-1/10e^-0,1t(0,2sin(100t)+cos(100t)

was ja gleichwertig ist , oder ?

(ich müsste nur meine 1/10 anders schreiben und aus meinem 0,2sin(100t) ein sin(100t)/5 machen.

PS : ich sehe gerade, dass ich weiter oben vergessen habe, das 1/10 zu erwähnen, ups.

Übrigens, warum kann ich am Anfang Latex benutzen und bei den weiteren Kommentaren nicht mehr?

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Ja, danke für deine Korrektur von vor ca 13 mMinuten. So wollte ich es eigentlich sagen, habe aber nochmal Fehler gemacht.

Ich mache zu viele Fehler, sorry!

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Solche Rechner nutzen meistens eine andere Darstellung, aber ja, dir ist einmal die -0,1 untergegangen.

LaTeX kannst du auch in Kommentaren benutzen. Der Code muss zwischen \( und \) eingeschlossen sein.

Arbeite sorgfältig und mit Konzentration. Wenn die Luft raus ist, hilft auch ein wenig Pause.

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Auf jeden Fall kommt der Ableitungsrechner auf

(e^-1/10(995cos(100t)-5001sin(100t)/50

und ich komme nicht soweit :) und würde so gerne dahin kommen.

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Ja ,danke, ich glaube du hast recht, ich brauch eine Pause (bin ja auch nicht mehr der Jüngste :) 1949 !

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Hast du deinen korrigierten Term von oben schon mal zusammengefasst? Beachte, dass der Ableitungsrechner zusätzlich noch \(\frac{1}{50}\) ausklammert. Das ist aber nicht unbedingt notwendig.

Answer 2

Ich gleiche mal meine Lösung dem neuen Kenntnisstand an.

f(x) = e^(- 0.1·t)·(0.2·SIN(100·t) + COS(100·t))

Ableiten

f'(x) = - 0.1·e^(- 0.1·t)·(0.2·SIN(100·t) + COS(100·t)) + e^(- 0.1·t)·(20·COS(100·t) - 100·SIN(100·t))

e-Term ausklammern

f'(x) = e^(- 0.1·t)·(- 0.02·SIN(100·t) - 0.1·COS(100·t) + 20·COS(100·t) - 100·SIN(100·t))

Klammer zusammenfassen

f'(x) = e^(- 0.1·t)·(19.9·COS(100·t) - 100.02·SIN(100·t))

Comments

Also danke nochmal,

wenn ich das Distributiv Gesetz besser erkennen und anwenden könnte wäre es einfach gewesen.

Und beim \( \frac{1}{50} \) habe ich mir auch gedacht "warum", ist doch umständlicher.

Dein Endausdruck ist ja equivalent und einfacher, weil das Ergebnis vom Ableitungsrechner, geteilt durch 50 zu deinem Ergebnis kommt.

Jetzt kann ich die Aufgabe beenden

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Wie gesagt, irgendwelche Rechner oder Tools arbeiten mit bestimmten Algorithmen. Der Ableitungsrechner vermeidet offenbar Dezimalzahlen (was man in der Regel auch tun sollte) und klammert dann entsprechend auch den Nenner aus. Umständlicher ist das nicht unbedingt. Benötigt man das Ergebnis zur weiteren Berechnung, sind Brüche in der Regel wesentlich angenehmer und im Vergleich zu Dezimalzahlen exakt. Stelle dir nur einmal vor, du hättest Brüche wie \(\frac{1}{3}\) oder \(\frac{1}{7}\). Diese möchtest du sicherlich nicht als Dezimalzahl irgendwo stehen haben.

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Ja, stimmt eigentlich, ein irrationaler Bruch währe nicht angenehm als Dezimalzahl und auch nicht so genau wie der Bruch.

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Ein Bruch ist per Definition nicht irrational. ;) Du meinst periodisch.

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Dezimalzahlen sollte man unbedingt vermeiden, wenn die Schreibweise aufwändiger oder ungenauer ist. In der Regel können sich Menschen aber den Wert in einer Dezimalzahl besser vorstellen.

Wenn es nicht not tut, wie bei dieser Aufgabe dann sehe ich aber keine Probleme die Dezimalzahlen einfach so stehen zu lassen. Im Gegenteil. Dezimalzahlen werden von Menschen besser gelesen und interpretiert als Brüche.

Daher wird im Anwendungskontext fast ausschließlich mit Dezimalzahlen gerechnet und die Lösungen auch meist dezimal angegeben.

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Ja, sorry, ich meinte periodisch wie 0,33333...

Danke Apfelmännchen und Mathecoach,

ich frische auf und lerne dazu.

Gute Nacht.