Halbwertszeit radioaktives Iod

Question

Ich verzweifle langsam aber sicher nach unzühligen Versuchen an dieser Aufgabe. Kann mir jemand weiterhelfen?

Aufgabe: Bei gewissen Untersuchungen wird Patienten radioaktives Iod gegeben, das so zerfällt, dass die vorhandene Menge nach jeweils (etwa) 8 Tagen auf die Hälfte zurückgeht. Nach wie vielen Tagen sind noch 10% (noch 1%, noch 2%) der Anfangsdosis vorhanden?

Mein Ansatz:

1*x^1/8 =0,1

x^1/8 =0,1

Answer 1

Das Thema hab ich auch gerade! Ich habe das so gelernt:

b(t)=a*b^{t}

b(t)=1*b^{t}

0.5=1*b^8   |^8√

b=0.9179949432

0.1=1*0.9179949432^t  |0.1 kommt von 10%

Darauf folgert man:

t=log(0.1)/log(0.9179949432)

t≈26.9106 Tage

26 Tage, 21 Stunden und 51 Minuten

1% und 2% sind analog, aber wenn du Fragen dazu hast, frage!

Comments

Hallo Anton,

nicht ganz genau
b=0.9179949432

sondern
b=0.917

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Wieso?

die 8. Wurzel aus 0.5 ist ca.

0.91700404320467123174354159479414442803865516643683974979166206935323883112234736284146548938066031367234105966894.

Wieso ist 0.917 genauer?

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Oh, das wusste ich nicht.

Am genausten:$$ \frac{\log_{}{}(0.1)}{\log_{}({\sqrt[8]{0.5}})}\approx 26.5754 $$

Hä? Das verwirrt mich gerade.

Wieso ist ⁸√0.5=0.917 und nicht 0.918 gerundet?

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Das macht ja mal gar keinen Sinn :'D

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Hallo Anton,

du hast b zu
b=0.91799
berechnet .

Richtig ist
0.5 = 1 * b ^{8}  | ⁸√
b = 0.917

Mit diesem Ergebnis würde bei dir auch alles
weitere stimmen.

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Hallo Anton,

Georg hat mit dem Runden recht:

Nach deinem Kommentar hast du ⁸√0,5 zu  0.91700404....  richtig berechnet.

Die auf 7 folgende Ziffer ist < 5 , also wird auf 0,917 abgerundet, wenn man auf 3 Kommastellen runden soll.

Hiermit hat Georg allerdings nicht recht:

> Mit diesem Ergebnis würde bei dir auch alles weitere stimmen.

Keinesfalls sollte man 

b(t) = a * b^t   schreiben und damit die Variable b in zwei  verschiedenen Bedeutungen verwenden, z.B.

N(t) =  a * b^t 

Gruß Wolfgang

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Ich hab falsch von meinem TR abgelesen....

Answer 2

b(t)=b_(0)*0,5^{t/8}

b/b_(0)=0,1=0,5^{t/8}

ln(0,1)=t/8*ln(0,5)

t=ln(0,1)*8/ln(0,5)

t=26,57 T

Comments

In deiner Rechning ist t eine reine Zahl ohne Einheit.

Wenn man dann schon die für die Zeit übliche Variable t benutzt, sollte man wenigstens mit

 " t (sei die Maßzahl der Zeit) in Tagen" beginnen.

Besser:$$ b(t) = b_0 · 0,5^{\frac { t }{ 8d}}$$

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@Wolfgang:

Im Mathematikunterricht ist es üblich ohne Einheiten zu rechnen. Zum Schluss (z.B. in einem Antwortsatz) setzt man dann aber beim Resultat die richtige Einheit. Ausserdem wird keine Rundung verlangt, sondern z.B. generell 5 bedeutsame Ziffern im Resultat richtig oder gekürzte Brüche und vereinfachte Wurzelausdrücke.

Im Physikunterricht werden die Einheiten separat und als "Dimensionskontrolle" immer noch separat umgeformt und überprüft. Ausserdem ist es dort üblich die Genauigkeit der Resultatsangabe noch zu reflektieren. Bedeutsame Ziffern schon bei den gegebenen / gemessenen Grössen.

Das eine Möglichkeit um zu erkennen, aus welchem Fach die Frage stammt. Die Schüler haben manchmal Mühe einen Unterschied zwischen Mathematik und Physik zu sehen und kommen so zu ärgerlichen Teilpunktabzügen.

Du darfst übrigens Fragen melden, bei denen du eine Migration zwischen den Foren befürworten würdest. Ziel: Bei den ähnlichen Fragen sollten auch die besten ähnlichen Fragen erscheinen. Vielleicht kann aber Kai doch noch die Rubrik "ähnliche Fragen" so programmieren, dass sie automatisch über die Formusgrenzen sucht. Dann können wir das Migrieren von Hand umgehen.

Answer 3

    Der Ansatz lautet

      m  =  M0  *  2  ^  (  -  t / T0  )        (  1  )

     wobei m die Menge und T0  =  8 d die Halbwertszeit.   Mach selbst die Probe, indem du setzt  t  =  T0 .  Nach wie viel Tagen noch 10 % ?

           2  ^  (  -  t / T0  )  =  1/10    |    ^  -  1       (  2a  )

        Ich gehe also her und bilde das Reziproke

       2  ^  (  t / T0 )  =  10    |     lg     (  2b  )

     Weil Logaritmus ist die Umkehrfunktion, wenn du an den Exponenten ran willst.

       ( t / T0 )  lg  (  2  )  =  lg  (  10  )  =  1      (  2c  )

     also ich finde in Muttis Logaritmentafel; wir kannten den Wert ja noch auswändig

      lg  (  2  )  =  .3010    (  2d  )

     t  =  8  d  /  .3010  =  26.58  d     (  2e  )

    Klingt plausibel; denn nach 24 d müsstest du 1/8  =  12.5  %  haben - vermagst du mir geistig zu folgen?  Bei  1 %  müsste in  (  2b ) sntsprechend eine 100 stehen statt der 10 und bei 2 % die 50 ( Warum? )

   Was ich dir hauptsächlich empfehle.  Kralle dir ein Blatt halblogaritmisches Millimeterpapier  ( Gibt's das auch online?  )

     Die  Abszisse ist die Zeit; bei t = 0 markierst du 100 % .  Ich empfehle einen Maßstab 1 mm = 1 Tag ( Na vielleicht fällt dir ja auch was Besseres ein. ) Jeden Falls musst du nach 8 d  markieren 50 %  .  Beide Punkte tust du durch eine Gerade verbinden; dann sollte es möglich sein, grafisch zu überprüfen,  wann diese Linie die 2 %  bzw. 1 % Marke erreicht  ( Das sind ja nur Werte, die eine Dekade tiefer liegen. )

Comments

  Ach eh dass ich's vergerss.  Es gilt ja

         lg  (  100 )  =  2       (  2.1  )

      und damit

       t ( 1 % )  =  2  t  (  10  %  )      (  2.2  )

      Warum ist das so?

Answer 4

Aufgabe: Bei gewissen Untersuchungen wird Patienten radioaktives Iod gegeben, das so zerfällt, dass die vorhandene Menge nach jeweils (etwa) 8 Tagen auf die Hälfte zurückgeht.
Mein Ansatz:
1*x ^{1/8} =0,1

Du hast das Wesen einer sogenannten
Exponentialfunktion noch nicht erkannt.
Macht aber nichts. Ich versuche einmal
eine Erklärung.

Nach 8 Tagen hat sich die Ursprungsmenge
halbiert ( m0 = Ursprungsmenge )
m0 * 1/2
Nach 16 Tagen ist wiederum eine Halbierung
erfolgt
( m0 * 1/2 ) * 1/2 = m0 * (1/2) ^2
Nach weiteren 8 Tagen ( insgesamt 24 Tagen )
( m0 * 1/2 * 1/2 ) * 1/2 = m0 * (1/2) ^3

Anzahl der Tage durch 8 = Exponent
m ( t ) = m0 * (1/2) ^{t/8}

Merke : eine Exponentialfunktion heißt Exponential-
funktion weil die Variable im Exponent vorkommt.

Die Formel gibt dir beim Einsetzen von t die noch
vorhandene Menge an.

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2. Schritt
Die vorhandene Menge ist nur als Prozentzahl
der Ausgangsmenge angegeben
z.B. 10 % oder 0.1, das bedeutet

vorhandene Menge / Ausgangsmenge = 0.1
m ( t ) / m0 = 0.1

Stellen wir um
m ( t ) = m0 * (1/2) ^{t/8}  | : m0
m ( t ) / m0 =  (1/2) ^{t/8} = 0.1
(1/2) ^{t/8} = 0.1 | ln
ln ( (1/2) ^{t/8} ) = ln ( 0.1 )
t/8 * ln (1/2 ) = ln  (0.1 )
t = ln ( 0.1 ) * 8 / ln ( 1/2 )
t = 26.575 Tage

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.