Allgemeiner Beweis von ∀a∈N ∃b∈N: a<b

Question

Ich hab eine Frage: Ich hänge gerade bei einem Beweis, der eigentlich nicht so schwierig wirkt, aber trotzdem nicht so leicht zu durchschauen ist.

also die angabe ist:

∀a∈N ∃b∈N: a<b

die beweis ich sowas??

könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

lG

Answer 1

Wenn man eine Rechenvorschrift angibt, die zu jedem beliebigen a ein passendes b bestimmt, ist der Beweis gelungen.

Behauptung

∀a∈N ∃b∈N: a<b

die beweis ich sowas??

Beweis. Sei ein beliebiges a_o∈N gegeben. Zu zeigen ∃b∈N: a_o<b.

Wir konstruieren zu a_o das verlangte b:

Wir wählen b_o = a_o + 17. Das ist bestimmt eine Zahl in N.

Ausserdem gilt a_o<b_o 

qed.
 

Comments

Damit ist sozusagen bewiesen, dass es keine grösste natürliche Zahl gibt.

Answer 2

Bew durch vollständige Induktion:

1) Induktionsafang: a=0

wähle b=1. Das ist offensichtlich in N und größer als a=0


2) Induktionsannahme :

Für ein belibiges festes a aus N gilt  ∃b∈N: a<b


3) Induktionsschritt a -> a+1

Nach induktionsannhame gilt a<b , damit gilt sofort a+1≤b .

Wähle b'=b+1 => a+1 < b'


Daraus folgt die Behauptung.


Grüße MJ