Durch mehrere Differenzialquotienten die Formel der Ableitung angeben?

Question

ich habe da eine Frage. Gegeben sei irgendeine Funktion welche ich rechnerisch ableiten möchte, also mit dem Limes x0 gegen x1 und das an mehrere Stellen. Ich erhalte also "mehrere" Differentialquotienten (bei f(x)= 4-27x+x^3) unterschiedliche... kann aus diesen Differenzialquotienten z.B die erste Ableitung als Funktion erhalten?

Diese wäre in diesem fall ja 27-3x^2 (nach den Regeln des Ableitens..) ist das auch wie oben beschrieben anhand der D.quotienten möglich?

Danke und lg

Answer 1

Das ist schon möglich, du machst den Differenzenquotienten

einfach allgemein an einer Stelle xo=x und x1=x+h.

Dann bekommst du

(f(x+h) - f(x)) / h

( 4-27(x+h)+(x+h)^3  - ( 4-27x+x^3)   )  / h

=  ( 4 - 27x - 27h + x^3 + 3x^2 * h + 3x*h^2 + h^3  - 4 + 27x - x^3 )  / h

=  (  - 27h  + 3x^2 * h + 3x*h^2 + h^3   )  / h

= h* (  - 27  + 3x^2  + 3x*h + h^2   )  / h    kürzen

= - 27  + 3x^2  + 3x*h + h^2    Und x1 gegen xo bedeutet ja h gegen 0,

also bleibt nur  - 27  + 3x^2

Das kommt auch nach den "Regeln des Ableitens" raus, du hattest da ein

falsches Vorzeichen.