Vollständige Induktion: Ungleichung mit Fakultät 2^{n-1} ≤ n! zeigen

Question

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ IN gilt:

2^n-1 ≤ n!

Comments

Ähnliche wie https://www.mathelounge.de/458936/vollstandige-induktion-mit-fakultat-bsp-die-ungleichung-n

Answer 1

2^{n-1} ≤ n!

wahr für n=1.

wenn also für ein n gilt 2^{n-1} ≤ n!

dann gilt

2^{(n+1)-1} =  2*2^{n-1} ≤ 2*n!   (wegen Ind. vor.)

                       = n! * 2

        und weil n≥1 ist, gilt ja  n+1 ≥2  also gilt

n! * 2    ≤  n! * (n+1)   = (n+1) ! .