Formel für Quadratische Gleichungen

Question

Ich habe mich gerade gefragt:

Kann man eigentlich eine eigene PQ-Formel machen?

So habe ich angefangen:

ax^2+bx+c=0      |-c

ax^2+bx=-c    |:b

ax^2+x=-c/b    |:a

x^2+x=-c/(a*b)

Kann ich das irgendwie weiter auflösen das ich am Ende nur x da stehen habe?

Comments

Vielleicht noch folgende Methode: Die Substitution \(\large\color{blue}{z:=x+\frac b{2a}}\) liefert eine (einfach lösbare) reinquadratische Gleichung.

---

ax²+bx=-c    |:b

ax²+x=-c/b    |:a

x²+x=-c/(a*b)

Besser:  $$ax^2 + bx = -c \quad \left| \div a \right.$$ $$x^2 + \frac {b}{a}x = -\frac{c}{a} $$ Substitution \(x= z - \frac{b}{2a}\) wie von nn vorgeschlagen:

$$z^2 - \frac{b}{a} z + \frac{b^2}{4a^2} + \frac{b}{a}z - \frac{b^2}{2a^2} = -\frac{c}{a} $$ $$z^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} $$

Answer 1

ax^2 + bx + c =0     
Zur Lösung ist die Mitternachtsformel geeignet

Die pq-Formel kann angewendet werden falls
das x^2 keinen Koeffizienten hat
x^2 + px + q = 0
x^2 + px + ( p/2)^2 = (p/2)^2 - q
( x + p/2 ) ^2 = (p/2)^2 - q | Wurzel
x + p/2 = ± √ [ (p/2)^2 - q ]
x = ± √ [ (p/2)^2 - q  ] - p/2

Comments

Diesmal geht deine Antwort hoffentlich nicht verloren.

---

Wie die PQ-Formel und die Mitternachtsformel hergeleitet wurde weiß ich. Vielleicht ist es auch unmöglich eine neue Lösungsformel zu finden(?) Oder gibt es keine andere?

---

Schön das du dich mit solchen Problemen
selbst beschäftigst.

Es gibt die quadratische Ergänzung, die
Mitternachtsformel, Satz von Vieta,
Cardano, Zerlegung in Linearfaktoren
( Polynomdivision ), das Newtonsche
Näherungsverfahren

Du suchst eine allgemeine Formel für alles ?
Gibt es nicht.

---

Eigentlich ist das Newton-Raphson-Verfahren eine allgemeine Formel für alles.

---

Du mußt aber z.B. zunächst einen geeigneten
Anfangswert / -e haben.

Praktische Vorgehensweise
Ich schaue mir die Gleichung an
und überlege dann welches Verfahren mit
dem geringsten Arbeitsaufwand zur Berechnung
geeignet ist.

Läßt sich kein einfaches Verfahren anwenden
lasse ich mir die Funktion plotten, erkenne die
Anfangswerte und werfe dann mein Computer-
programm an für das ich eine Arbeitsblatt
für Newton-Berechnungen selbst geschrieben
habe.

Kommt aber nicht so häufig vor, da für (Haus-) Aufgaben das Verfahren meist nicht
notwendig ist.

Answer 2

Hallo Anton. Du unternimmst gerade den Versuch, eine quadratische Gleichung so zu behandeln, wie eine lineare Gleichung. Wenn das Erfolg verspräche,brauchten wir keine Vefahren, wie p-q-Formel oder quadratische Ergänzung. Besondere Gleichungen efordern aber spezifische Methoden. Denk an kubische Gleichungen, die wieder ein neues Lösungsverfahren erfordern, oder an Exponentialgleichungen und was es sonst noch alles gibt.

Comments

Hallo Roland,

Mich interessiert nur wie man darauf gekommen ist...

Es gibt Lösungsformeln für:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom_vierten_Grades

Und die Cardanischen Formeln, mit denen ich mich schon beschäftigt habe für Kubische Gleichungen (Polynom dritten Grades)

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Es interessiert mich einfach wie man sowas schafft.

---

Lösungsformeln - nicht nur in diesen Fällen - sind meistens nicht nur das Werk eines Einzelnen, sondern oft sind über Jahre oder Jahrzehnte hin mehrere Mathematiker der Lösung immer ein Stück näher gekommen. Cardano stützte sich zum Beispiel auf eine Vermutung von Bombelli, die dieser auch wieder irgendwo her bezog. Es ist sicher ein lobenswertes Unterfangen, selbständig irgendwelche Lösungsformeln zu entwickeln, kann aber oft von einem Einzelnen nicht geleistet werden.

Die Frage "Wie kommt man drauf" ist gar nicht so leicht zu beantworten.Auf jeden Fall benötigt man, um auf etwas Neues zu stoßen, solides Wissen und Heuristik. Und am Ende stellt man allzuoft fest: "Das gibt es schon".

Answer 3

Du teilst das Ganze durch a ≠ 0.

-------->

x^2 +(b/a) *x +c/a=0

Dann wendest Du die pQ- Formel an, wie immer .

Warum willst Du das  denn anders machen?

Comments

Wie die PQ-Formel geht weiß ich doch..

Mich würde nur interessieren, ob es vielleicht andere Möglichkeiten gibt.

---

Ja die Mitternachtsformel.

---

Die ist mir auch bekannt.

Der Satz von Vieta, Die Zerlegung in Linearfaktoren auch

---

Um was kämpfst Du hier ? Das reicht doch.

:-)

---

Es muss doch noch irgendwas geben...?  Naja ich werde vorab nicht aufgeben.

Danke für die Hilfe

Answer 4

Hallo

1. ein einzelnes x kannst du nicht haben, weil es ja i.A. 2 Lösungen gibt.

2. wenn du durch b (oder a) dividierst musst du JEDEN Summanden dividieren, also ist dein umformen ab der Stelle, wo du durch b dividierst, falsch.

3. ist die pq- Formel einfach aus der quadratischen Ergänzung herzuleiten:

$$x^2+px+q=0-> \quad x^2+2*\frac{p}{2}+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=0-> (x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-q$$ den Rest kannst du selbst

Gruß lul