Betrachten Sie die folgenden Vektoren des reellen Standardvektorraums V = ℝ4
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (4, 4, 0, 0)
Zeigen Sie, dass ⟨v1⟩ ∪ ⟨v2⟩ kein Unterraum von V ist.
Lösungsvorschlag:
Seien v1 und v2 Untervektorräume, dann muss gelten: Die Vereinigung zweier Untervektorräume ist jedoch nur dann ein Untervektorraum, wenn v1 ⊆ v2 oder v2 ⊆ v1.
Wenn v1 ⊆ v2 oder v2 ⊆ v1 gilt, dann ist v1 ∪ v2 entweder gleich v1 oder gleich v2 , also ein Unterraum.
Wir prüfen 3 Kriterien für einen Untervektorraum:
1. v1 ∪ v2 ist nicht leer bzw. v1 ∪ v2 ≠ ∅
2. Vektoraddition: { v1 + v = v2 oder v2 + w = v1 | v, w ∈ V }
v1 = (1, 1, 1, 1) + (3, 3, -1, -1) = v2
v2= (4, 4, 0, 0) + (-3, -3, 1, 1) = v1
Abgeschlossen unter Vektorraddition.
3. Skalarmultiplikation: { k * v1 = v2 oder k * v2 = v1 | k ∈ ℝ }
k * v1 = v2, es gibt kein k ∈ ℝ, so dass k *v1 = v2,
k * v2 = v1, es gibt kein k ∈ ℝ, so dass k *v2 = v1,
Also nicht abgeschlossen unter Skalarmultiplikation => kein Unterraum.
Ist das so richtig?
