⟨v1, v4, v5⟩ ∪ ⟨v2⟩ ein Unterraum von V ist V = ℝ4 Beweisidee korrekt?

Question

Ist mein Gedankengang den ich da habe jetzt soweit folgerichtig?:

v1=(1,1,1,1)

v2=(4,4,0,0)

v4=(2,3,1,1)

v5=(1,0,0,0)

=> offensichtlich ⟨v1, v4, v5⟩ ∪ ⟨v2⟩ ≠∅

2.Da 

v2 = -2v1 + 2v4 + 2v5

kann ich auch sagen, dass <v2> = -2a(v1)+2a(v4)+2a(v5) mit a ∈ ℝ

=> <v2> eine Teilmenge von <v1,v4,v5> ist.

Somit ist nur noch die additive abgeschlossenheit von <v1,v4,v5> zu zeigen, (eigentlich ist die ja offensichtlich)

Seien beliebige a,b,c ∈ ℝ

so sind av1+bv4+cv4 stets Element von <v1,v4,v5>

daraus folgt die additive abgeschlossenheit.

Dann nur noch die multiplikative abgeschlossenheit zeigen und fertig

welche ich eigentlich auf für offensichtlich erachte.

Das wäre so in etwa richtig oder?

Answer 1

> ⟨v1, v4, v5⟩ ∪ ⟨v2⟩ ein Unterraum von V ist V = ℝ4 Beweisidee korrekt?

Ich spekuliere mal ein wenig, was du damit sagen willst. Gewöhne dir bitte an, in Zukunft grammatikalisch korrekt formulierte Sätze zu schreiben.

Wenn ⟨v₁, v₄, v₅⟩ ∪ ⟨v₂⟩ ein Unterraum von V ist, dann muss nicht V = ℝ⁴ sein.

Beweis. Sei v₁ = v₄ = v₅ = v₂ = (1 0 0 0)^T. Es ist (0 0 0 1)^T ∈ ℝ⁴ , aber (0 0 0 1)^T ∉ ⟨v₁, v₄, v₅⟩ ∪ ⟨v₂⟩.

> Dann nur noch die multiplikative abgeschlossenheit zeigen und fertig.

Damit hast du dann gezeigt:

        Wenn v1=(1,1,1,1), v2=(4,4,0,0), v4=(2,3,1,1), v5=(1,0,0,0) ist,
        dann ist ⟨v₁, v₄, v₅⟩ ∪ ⟨v₂⟩ ein Untervektorraum von ℝ⁴.

Ist es das, was du zeigen solltest? Außerdem sollte eigentlich allseits bekannt sein, dass für beliebige Vektoren v₁, ..., v_n eines Vektorraumes V das Erzeugnis ⟨v₁, ..., v_n⟩ ein Untervektorraum von V ist. Entweder ist das Bestandteil der Defintion

        ⟨v₁, ..., v_n⟩ ist der kleinste Vektorraum, der v₁, ..., v_n enthält

oder es ist das erste Korollar, dass man aus der auch gebräuchlichen Definition

        ⟨v₁, ..., v_n⟩ ist die Menge aller Linearkombinationen aus den Vektoren v₁, ..., v_n

schlussfolgert.

> Da  v2 = -2v1 + 2v4 + 2v5 ...

... ist ⟨v₂⟩ ⊆ ⟨v₁, v₄, v₅⟩ und somit ⟨v₁, v₄, v₅⟩ ∪ ⟨v₂⟩ = ⟨v₁, v₄, v₅⟩ ≤ ℝ⁴_.

Offensichtlich ist in jedem Fall ⟨v₁, v₄, v₅⟩ ≠ℝ⁴.