Zeigen Sie, dass U⊥ ein Unterraum von V ist.

Question

Aufgabe:

Sei (V,⟨·, ·⟩) ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und U ⊆ V ein Unterraum. Dann heißt
U^⊥ := {v ∈ V | ⟨v, u⟩ = 0 für alle u ∈ U}
das orthogonale Komplement von U.

(a) Zeigen Sie, dass U^⊥ ein Unterraum von V ist.
(b) Zeigen Sie, dass U ⊆ (U^⊥)^⊥ gilt.
(c) Sei V endlich-dimensional. Zeigen Sie, dass U = (U^⊥)^⊥ gilt.
(d) Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Abbildung Φ : V → V^∗, v ↦ ⟨v, ·⟩ ein Vektorraumisomorphismus ist.
(e) Kann man in (d) das Wort ”euklidischer“ mit ”euklidischer oder unitärer“ ersetzen?
(f) Seien V und Φ wie in (d). Zeige

Φ(U^⊥) = {f ∈ V^∗| f(u) = 0 für alle u ∈ U} =: U⁰

Problem/Ansatz:

Komme mit der Aufgabe gar nicht klar