Nullstellenberechnung von quadratischer Funktion

Question

Ich versuche seit geraumer Zeit eine andere Formel als die PQ- und die Mitternachtsformel zu finden:

Das ist mein bester Versuch, was haltet ihr davon?

Hier mein Rechenweg:$$ax^2+bx+c=0 $$$$ax^2+bx+c=0 \quad |-c $$$$ax^2+bx=-c \quad |:b $$$$ax^2+x=-\frac{c}{b} \quad |:a $$$$x^2+x=-\frac{c}{b \cdot a}  $$ Dann Quadratische Ergänzung$$x^2+x+(\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2})^2-\frac{c}{b \cdot a}  $$$$ x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{a \cdot b}{4 \cdot a\cdot b}+\frac{-c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b} $$ Wie man erkennen kann sind die Zähler gleich also kann man doch addieren:$$ x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b} $$ die linke Seite kann man vereinfachen:$$ \frac{1}{4}(2x+1)^2 $$ Dann haben wir bisher:$$ \frac{1}{4}(2x+1)^2= \frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}  \quad |: \frac{1}{4}$$$$(2x+1)^2= \frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25}$$ Jetzt die Klammerr auf der linken Seite auflösen:$$ 2x^2+1= \frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25} \quad |-1$$ Dann durch zwei teilen:$$ x^2= \frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25}-\frac{1}{2} \quad $$$$ x_{1,2}= \pm\sqrt[]{\frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25}-\frac{1}{2}} $$

LG

Anton

Comments

Die Division durch \(b\) ist falsch.

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-b oder was?

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Nein, aber du musst auch \(ax^2\) durch \(b\) dividieren.

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So?

(ax^2+x)/b=-c/b

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Eher (a/b)x² + x = -c/b. Aber das wird dich wohl nicht viel weiter bringen.

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Ich versuche seit geraumer Zeit eine andere Formel als die PQ- und die Mitternachtsformel zu finden

Das wird dir nicht gelingen ;)

Wenn du die Gleichung durch a oder b teilst musst du alle Summanden teilen.

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Bis hier noch richtig?

ax^2+bx+c=0   |-c

ax^2+bx=-c    |:b

(a/b)x^2+x=-c/b    |:(a/b)

x^2+x=(-c/b):(a/b)   |Kehrbruch

x^2+x=-(c*b)/(b*a)   |

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Das wird dir nicht gelingen ;)

Ich glaube, dass ich etwas gefunden habe

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Beim Kehrbruch musst du auch x durch (a/b) teilen.

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Das waren meine Überlegungen:$$ax^2+bx+c=0  \quad |-c  $$$$ax^2+bx=-c \quad |:a$$Dann quadratisch Ergänzen mit (b/2a)^2:$$ x^2+\frac{b}{a} \cdot x=-\frac{c}{a} \quad |\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$$$ x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} $$$$ x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} $$ Bruch auf der rechten Seite auflösen; Binomische Formel auf der linken Seite, um zusammenzufassen:$$ \left(x^2+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4 \cdot a^2}-\frac{c}{a} $$ Nun die Wurzel ziehen,  um die Klammer aufzulösen:$$ x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4 \cdot a^2}-\frac{c}{a}} \quad |-\frac{b}{2a}$$$$ x=\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4 \cdot a^2}-\frac{c}{a}}-\frac{b}{2a} \quad $$  Nunb müssen die beiden Brüch einen gleichnamigen Nenner haben, um sie zu addieren:$$ x=\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{2^2 \cdot a^2}+\frac{-c \cdot ( 2^2 \cdot a)}{2^2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a} \quad $$ Nun kann man sie addieren:$$ x=\pm\sqrt[]{\frac{b^2-c \cdot ( 2^2 \cdot a) }{2^2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}\quad $$ a wird aus der Klammer ausmultiplizert; neu sortiert:$$ x=\pm\sqrt[]{\frac{-4a \cdot c+b^2}{2^2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}\quad $$ Der Bruch wird nun mit 2 gekürzt:$$ x_{1,2}=\pm\sqrt[]{\frac{-2a \cdot c+0.5 \cdot b^2}{2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}\quad $$ Und das wars!

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Hallo Anton,

du musst auch das x durch a/b teilen, so dass die vorletzte Zeile lautet

$$ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{b} \cdot \frac{b}{a} $$

Gruß, Silvia

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$$x_{1,2}=\pm\sqrt[]{\frac{-2a \cdot c+0.5 \cdot b^2}{2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}$$

f(x)=5x^2+32x-323

$$x_{1,2}=\pm\sqrt[]{\frac{-2 \cdot 5 \cdot (-323)+0.5 \cdot 32^2}{2 \cdot 5^2}}-\frac{32}{2 \cdot 5}$$

$$x_{1}≈5.45 \quad x_{2}≈-11.85$$

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Da habe ich doch meine neue Mitternachtsformel!

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Das sieht sehr gut aus und Funktioniert auch, wenn du jetzt den Bruch unter Wurzel noch mit 2 erweiterst, hast du die ABC-Formel.

Sehr schöne Herleitung, Respekt

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Da hast du das schon geschrieben, habe ich noch nicht gesehen, da es noch nicht aktualisiert wurde

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Hey Smitty,

Was meinst Du mit "mit 2 erweitern"?

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Bei den letzten zwei Schritten von dir hatte ich den vorletzten nicht gesehen.

Erweitern ist das Gegenteil vom Kürzen. Also deine Endformel wieder einen Schritt zurück.

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Wie soll man dann auf die ABC-Formel kommen? Kannst du das vielleicht mal in Zahlen ausdrücken?

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Gut, dann mache ich das mal ausführlich.

$$\text{ABC-/Mitternachts-Formel}\\{x}_{1/2}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\text{dein Vorletzter Schritt}\\{x}_{1/2}=\pm\sqrt{\frac{-4ac+b^2}{2^2\cdot a^2}}-\frac{b}{2a} $$

Wenn du das umstellst kommst du auf die ABC-Formel, sprich \( b^2 \) und und \( -4ac \) tauschen und \( 2^2 \) zu \( 4 \) machen. Und zuletzt den Bruch und die Wurzel tauschen.

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Stimmt! Schade.

Answer 1

Hallo

derselbe Fehler wie vorher! nur 2 der 3 Summanden durch a/b dividiert.

ax^2+bx+c=0 kannst du auf keine Weise in x^2+x=Zahl umformen.

1.wenn du eh quadratische Ergänzung machst, warum nicht gleich.

2. wenn du auf deinen Rechnungen beharrst, prüfe dein Ergebnis mit einem einfachen Zahlenbeispiel nach!

Gruß lul