Matrizen Aussagen äquivalent

Question

ich stehe leider wieder einmal auf dem Schlauch ,vielleicht kann mir jemand weiter helfen,?

Sei K ein Körper, und sei A ∈ Mmn(K).

Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:



1. Es gibt eine Matrix B ∈ Mnn(K), B ≠ 0, sodass alle Einträge AB null sind.

2. Rg(A) < n.

Answer 1

Wegen B ≠ 0 ist  rang B  > 0  #.

Rangungleichung von Sylvester:

rang  A + rang B  - n  ≤  rang (A*B)

wegen A*B = 0-Matrix ist also

rang  A + rang B  - n  ≤  0

rang A ≤   n -  rang B  und wegen # also

rang A < n

Umgekehrt entsprechend.

Nachtrag (28.3. 16:25h). Der Kommentar zeigt:

So ganz einfach ist das Entsprechende vielleicht doch

nicht zu erkennen:

rang A < n

==>  Kern(A) besteht nicht nur aus dem Nullvektor.

Die Matrix, die zu dem Endomorphismus gehört, der

alles auf den Kern von A abbildet besteht nicht aus

lauter 0en. Das ist die gesuchte Matrix M.

Comments

  Matematiker schwelgen ja in Ungleichungen - das  erkenne ich Neid los an.

    Aber wir hatten auch jenen Assistenten, der die geflügelten Worte sprach

   " Mir duun Ihne so Existenzbeweise beipringe. Also die Lösunge; gell. Dass die existiern.

   Weil die Existenzsätze; gell. Die duun mir Sie nachher in die Prüfung abfraache.

  Aber wiemer die Lösungen findet; gell. Das sagemir Ihnen nischt; weil das gibt es nischt ... "

    Nirgendwo  gibst du an, wie man die geforderte Matrix  B konstruieren könnte geschweige ihre Existenz nachweist.

    Hier scheint mir überhaupt das Tema verfehlt. ehrlich gesagt ist nicht ersichtlich, wie die existenz einer Matrix aus einer Ungleichung folgen könnte.

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Bei dieser Richtung solle aus der Existenz von M

die Ungleichung  Rg(A) < n hergeleitet werden.

siehe Ergänzung der Lösung.

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Danke für die Antwort , aber das Problem ist , dass die  Rangungleichung von Sylvester  kommt noch nicht im Skript vor. Also ich kenne sie nicht ich muss also anderes beweisen .

mfg Manel

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  Matheff mit drei " F "  Sää faseln .  Äänen fäält dää sättliche Reufe.

   Eine Ungleichung sagt etwas aus über den Rang einer Matrix B ,  wobei IHRE EXISTENZ VORAUS GESETZT WIRD .

   " Wenn das Wörtchen ' Wenn ' nicht wär ... "

   Assistent Walter Keim

  " Erstsemester könne noch nettemaa denke. Dene derfste nix glaube. Unn des Schlimmste; die meine, es weer wüükisch so, wiese saache. Nachher im 7. Semester kannse schon emaa Pippifax mache, da wird des net missverstanne. "

   Oder in der Exphysik. Da hatten wir Assistent Wolf Groß, ein absolutes Genie.

   "  Es geht ja nicht um die Beziehung div(rot) = 0 . Sowas braucht kein Mensch; najaa. In einem von hundert Fällen.

    Normaler Weise schließt man ja umgekehrt.  Aus div(B) folge die Existenz eines Vektorpotenzials A mit B = rot(A)

   Für Sie, meine Herren Matematiker und solche, die es werden wollen.

   Das ist eine EXISTENZBEHAUPTUNG, für welche Sie den Existenzbeweis zu erbringen haben. "

   Schobn mit Acht war ich ja meinen Altersgenossen in Puncto Psychologie Turm hoch über. Deshalb sah ich voraus, welche Gruppendynamik sich jetzt in Groß seiner Gruppe entwickeln würde; Zwischenrufe

   "  Tjaa Herr Groß; wie würden denn Sie sowas beweisen? "

   " Wieso ausgerechnet ich? Keine Ahnung; ist das etwa mein Job?  Aber Ihnen halte ich vor, die Notwendigkeit dieses Exostenzbeweises nicht von sich aus bemerkt zu haben ... "

Answer 2

   Fallunterscheidung;  A = 0   Für alle B gilt A B = 0 

   Nimm doch einfach  B diejenige Projektionsmatrix, d.h.

        B  ²  =  B        (  1  )

      Es lässt sich beweisen, dass sich jede Projektion schreiben lässt als direkte Summe aus ihren Eigenräumen

        K  ^  m  =  V0  +  V1         (  2  )

    zu Eigenwert Null und Eins.  Wähle eine Basis { b } von Kern ( A )  , das kannst du, weil Rang ( A ) < m voraus gesetzt wurde.  Eine Teilmenge  von { b } erklärst du zur Basis von V1, so dass das Bild von B ganz in den Kern von A fällt. V0 = Kern ( B )  besorgst du dir über den  ===>  Basisergänzungssatz .

   Dann passiert genau das:  B vernichtet  V0 , und V1 wird von A vernichtet.

   In Worten: Jede ( eigentliche ) singuläre Matrix besitzt einen  ===>  Nullteiler.

   Nur wenn  A  invertierbar ist, stimmt die Voraussetzung nicht, dass A eine Basis   im Kern besitzt.  Wir sollen ja zeigen  "  genau dann wenn "  Im Falle dass  A  ^  -  1  existiert, folgt eine Aussage Grund legend für jede Art Algebra:

         A  B  =  0    |      A  ^ -  1   *     (  3a  )

    "  Stern rechts  "  bedeutet Multiplikation von Links.

       A  ^ -  1  (  A  B  )  =  (  A  ^ -  1  A  )  B  =  B  =  0    (  3b  )