φA : Kn → Km ,x → Ax. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Question

Aufgabe: φA : Kⁿ → K^m ,x → Ax. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

a) Es gibt ein b∈K^m für das Ax=b genau eine Lösung.

b) rg_k(A)=n.
c) φA ist injektiv.
d) im(φA) = Kⁿ

Problem/Ansatz:

wie ich a) -> b ) und b) -> c) zeige weiß ich aber ich komme einfach nicht drauf warum das Bild = Kⁿ. Also ich finde den Weg von c) -> d nicht, weil ich denke das das Bild in K^m liegen müsste.

Wäre sehr dankbar für einen Denkanstoß.

Comments

Du kannst nur zeigen, dass \(Im( \phi_A)\) isomorph zu \(K^n\) ist.

Wenn du Gleichheit zeigen sollst, dann ist die Aufgabe nicht korrekt gestellt.

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ja habe gerade gesehen, dass da kein = steht sondern isomorph.

könntest du mir da einen Tipp geben ?

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Wenn ihr schon die Dimensionsformel für lineare Abbildungen hattet, geht es superfix:
\(n = \dim \ker \phi + \dim \operatorname{im} \phi \).

\(c\rightarrow d\):

\(\phi\) injektiv \(\Rightarrow \dim \ker \phi = 0 \Rightarrow \dim \operatorname{im} \phi = n\).

Fertig.

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bin schon selbst drauf gekommen aber trotzdem Dankeschön : )