Hallo sophl,
Jedoch verstehe ich noch nicht so genau was die Sylowgruppen eigentlich sind.
Hier einmal eine mögliche Definition:
Sei G eine Gruppe, p eine Primzahl. Dann heißt \( H \le G \) eine p-Sylowgruppe von G g.d.w.
1. H ist eine p-Gruppe. D.h. es existiert ein \( n \in \mathbb{N}_0 \) mit \( \text{ord}(H) = p^n \)
2. \( p \nmid (G:H) \), also der Index ist nicht durch p teilbar
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Eine äquivalente Charakterisierung:
Fordern wir, dass die Gruppenordnug \(\text{ord}(G) = p^k m\) mit \( k \in \mathbb{N}_0, m \in \mathbb{N} \) und \( p \nmid m \) ist (wir spalten also alle p als Faktor ab), dann ist \( H \le G \) genau dann eine p-Sylowgruppe, wenn \( \text{ord}(H) = p^k \).
Zb verstehe ich nicht ob alle Sylowgruppen zueinander disjunkt sind oder nur jeweils die gleichen p-Sylowgruppen? ich denke eher beides nicht
und was bedeutet eigentlich dass je zwei Sylowgruppen zueinander konjugiert sind?
Das heißt du bekommst für unterschiedliche Primzahlen schon einmal völlig unterschiedliche Sylowgruppen. Eine 2-Sylowgruppe kannst du bspw. mit einer 3-Sylowgruppe von den Elementen her gar nicht miteinander vergleichen, in der ersten haben alle Elemente eine 2er Potenz als Ordnung, in der zweiten eine 3er Potenz. (Satz von Lagrange)
Für verschiedene Primzahlen p,q ist der Schnitt einer p-Sylowgruppe mit einer q-Sylowgruppe also stets trivial (enthält nur das neutrale Element).
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Wie sieht es mit Sylowgruppen zur gleichen Primzahl aus?
Hier sagen uns die Sylowsätze:
"Ist \(S \le G \) eine p-Sylowgruppe, dann ist jede zu S konjugierte Untergruppe von G eine p-Sylowgruppe von G. Je zwei p-Sylowgruppen von G sind konjugiert zueinander."
Wenn du dir eine p-Sylowgruppe S nimmst und ein \( g \in G \) wählst, dann ist \( g^{-1} S g \) also auch wieder eine p-Sylowgruppe.
Mal von der anderen Seite betrachtet:
Sind H, S zwei p-Sylowgruppen, dann existiert immer ein \( g \in G \), s.d. \( H = g^{-1} S g \), das bedeutet, dass die beiden Gruppen zueinander konjugiert sind.
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Ich möchte dir kurz ein Argument liefern, warum auch zwei verschiedene p-Sylowgruppen der Ordnung p (Achtung: für zwei p-Sylowgruppen der Ordnung \( p^k \) mit \( k > 1 \) gilt das nicht!) einen trivialen Schnitt besitzen: Sind \( H_1, H_2 \) zwei verschiedene p-Sylowgruppen zu einer Primzahl p, dann gilt ja offenbar \( H_1 \cap H_2 \subsetneqq H_1 \), also \( \text{ord}(H_1 \cap H_2) \mid \text{ord}(H_1) = p \) und das impliziert sofort, da p eine Primzahl ist, \( \text{ord}(H_1 \cap H_2) = 1 \), also \( H_1 \cap H_2 = \lbrace e \rbrace \).
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Fazit zum Merken:
- Sind p,q verschiedene Primzahlen, dann haben eine p- und q-Sylowgruppe trivialen Schnitt.
- Zwei p-Sylowgruppen sind stets konjugiert zueinander
- Zwei voneinander veschiedene p-Sylowgruppen (sofern es sie gibt) der Ordnung p haben ebenfalls einen trivialen Schnitt.
