Ordnung der Elemente in Sylowgruppen

Question

Sei G eine Gruppe der Ordnung 550.
Aufgabe: Berechnen Sie eine obere und eine untere Schranke für die Anzahl der Elemente von G,

deren Ordnung eine Potenz von 5 ist (einschließlich 5^0).
$$\text{Lösung: Für } s_5 \text{ gilt: } s_5 | 550 \text{ und } s_5 1mod5, \text{ also ist } s_5 \in {1,11}.$$ $$\text{Für } s_5 = 1 \text{ gibt es genau 25 Elemente, deren Ordnung eine Potenz von 5 ist}$$$$\text{(nämlich genau diejenigen Elemente, die in der einen 5-Sylowgruppe liegen).} $$$$ \text {Für } s_5 = 11 \text{ und der Annahme, dass sich zwei 5-Sylowgruppen nur trivial schneiden, gibt es}$$$$s_5\times (5^2 − 1) + 1 = 265 \text{ Elemente, deren Ordnung eine Potenz von 5 ist.}$$$$\text{ Damit haben wir eine untere und obere Schranke für die Anzahl dieser Elemente gefunden. }$$

Das ist die Lösung zu einer Aufgabe unserer Übungsklausuren. Irgendwie verstehe ich nicht, wie man auf die Anzahl der Elemente kommt. Ohne die Lösung zu kennen, hätte ich die Elemente der $$s_5 =1$$ jetzt so berechnet: $$s_5 \times (5-1)=1 \times 4=4, \text{aber das ist ja falsch, warum verstehe ich leider nicht so ganz.}$$

Comments

Was ist \(s_5\)?

Was ist mit \(s_51mod5\) gemeint?

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Sorry, das stimmt. $$s_5 \text { ist bei uns die Anzahl der 5-Sylowgruppen. Für die gilt ja bekanntermaßen (hier) }$$
$$ s_5 |550 \text { und } s_5 \equiv 1 modulo 5$$

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Welchen Teil der Lösung verstehst du nicht?

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$$\text{Ich habe generell verstanden, wie man die Ordnung der Elemente in einer p-Sylowgruppe bestimmt, }$$
$$\text{nämlich mithilfe der Eulerschen phi-Funktion mit der Formel } s_p \cdot \varphi(p^n)$$
$$\text{In der Aufgabe hätte ich also für }s_5 =1 \text { dann }1 \cdot \varphi (5^2)=1\cdot5\cdot4=20 $$
$$\text{ und für } s_5=11 \text{ dann } s_{11} \cdot \varphi(5^2))=11\cdot20=220$$
Also in kurz: Ich verstehe nicht, wie man die Anzahl der Elemente in den p-Sylowgruppen bestimmt, wenn p die Gruppenordnung mehrfach teilt.

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Es wäre hilfreich wenn du deinen Text nicht in \(\LaTeX\) schreiben würdest. \(\LaTeX\) macht keine automatischen Zeilenümbrüche und ich muss seitwärts scrollen. Außerdem ist Copy&Paste ein Problem. Geht jetzt, aber für's nächste mal.

Answer 1

Wenn es eine einzige \(5\)-Sylowuntergruppe gibt, dann hat diese laut erstem Sylowsatz (Numerierung nach Wikipedia) die Ordnung \(5^2=25\) wegen \(550 = 5^2\cdot 22\) und \(5\nmid 22\). Jedes Element dieser Untergruppe hat dann die Ordung \(5^0\) oder \(5^1\) oder \(5^2\) weil es sich bei der Gruppe um eine \(5\)-Untergruppe handelt. Damit hat die Gruppe mindestens \(25\) Elemente deren Ordnung eine Potenz von \(5\) ist. Diese untere Grenze ist größer als deine untere Grenze, also eine bessere Abschätzung.

Wenn es elf \(5\)-Sylowuntergruppen gibt, dann hat jede dieser Untergruppen laut erstem Sylowsatz die Ordnung \(25\). Diese elf Gruppen haben das neutrale Element \(1\) gemeinsam. Jede dieser Untergruppen hat also maximal \(24\) Elemente, die in keiner der anderen \(5\)-Sylowuntergruppen enthalten ist. Das ergibt \(11\cdot 24 + 1 = 265\) Elemente deren Ordnung eine Potenz von \(5\) ist.

Ich habe generell verstanden, wie man die Ordnung der Elemente in einer p-Sylowgruppe bestimmt

Du sollst aber nicht die Ordnung der Elemente bestimmen. Du sollst die Anzahl der Elemente eingrenzen.

nämlich mithilfe der Eulerschen phi-Funktion mit der Formel \(s_p \cdot \varphi(p^n)\)

\(s_p \cdot \varphi(p^n)\) ist keine Formel, sondern ein Term. Wie lautet die Formel?