Bei einem Folgenraum bestimmte Eigenschaften nachweisen.

Question

ich tu mich noch relativ schwer beim Umgang mit topologischen Grundlagen und hab jetzt auf dem Übungszettel Aufgaben dazu. Kann mir jemand Tipps zu folgenden Aufgaben geben bitte?

Bei a.) muss ich ja nur zeigen, dass der Raum vollständig ist. Sprich ich muss zeigen, dass jede Cauchy Folge konvergiert. Das heißt ich nehm eine beliebige Cauchy Folge her in diesem Raum. Alle Folgenglieder sind Supremi einer beschränkten Folge im Vektorraum der beschränkten Folgen, also sicher kleiner als unendlich, und irgendwann wird der Abstand zwischen zwei Gliedern kleiner als jedes beliebige Epsilon. Nur wie ich dann auf den Beweis komme, dass die Folgen dann auch konvergieren, weiß ich echt nicht...

Bei b.) bin ich noch ein bisschen planloser,

LG Mathstiger

Answer 1

Bei a.) muss ich ja nur zeigen, dass der Raum vollständig ist.

Nein, Du sollst zeigen, dass ein vollstaendiger normierter Vektorraum vorliegt. Das sind drei Sachen. Wobei schon in der Aufgabe drin steht, dass ein Vektorraum vorliegt. Also noch zwei Sachen. Wobei man jetzt noch sagen kann, dass auch schon die Normbehauptung in der Aufgabe drin steht. Also doch bloss Vollstaendigkeit. Wie willst Du es halten?

Comments

Ja ich hab mir schon gedacht, dass man annehmen kann, dass das was in der Angabe drinnen steht für wahr nehmen kann. Zumindest wurde uns das letztens gesagt.

LG Mathstiger

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Du musst für die Vollstaendigkeit eine Cauchyfolge in der gegebenen Norm von Elementen aus V betrachten. Das ist also eine Cauchy-Folge von beschraenkten Folgen. Denk Dir zuerst eine Notation für Folgen von Folgen aus und formuliere das damit mal.

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Oke gut probieren wir es einmal: Ich betrachte eine Cauchy - Folge x_n aus diesem Vektorraum. Die Folgenglieder dieser C.F. sind selber beschränkte komplexe Folgen. Das heißt ich wähle zum Beispiel als C.F. die Folge x_(a_n). Ich weiß also dass es für alle Epsilon größer null, es ein a_N aus V gibt, sodass für alle a_n und a_m größer als a_N gilt: d(x_(a_n),(x_(a_m))< epsilon. Zeigen muss ich, dass die Folge auch konvergiert: Sprich für alle Epsilon größer null, gibt es ein a_N aus V, sodass für alle a_n > a_N gilt, dass d(x_(a_n),x_(a))< Epsilon. Stimmt das soweit?

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Eher so: Wir schreiben z.B. $$(x_n)=\left(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, x_3^{(k)},\ldots,x_n^{(k)},\ldots\right).$$ Der obere Index ist für die inneren Folgenglieder. Dann haben wir $$\lVert x_m-x_n\rVert_\infty=\sup\left\{\left|x_m^{(k)}-x_n^{(k)}\right|: k\in\mathbb{N}\right\}<\varepsilon$$ für grosse \(m,n\). Zu zeigen ist, dass dann ein Grenzwert $$\xi=\left(\xi^{(1)}, \xi^{(2)}, \xi^{(3)},\ldots\right)\in V$$ (also auch eine Folge) existiert, d.h. es muss $$\lVert x_n-\xi\rVert_\infty=\sup\left\{\left|x_n^{(k)}-\xi^{(k)}\right|:k\in\mathbb{N}\right\}\to0$$ gelten. So sieht die Sache aus. Denke eine Weile drueber nach. :)

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Gut hab einmal eine Weile drüber nachgedacht. Ich wäre jetzt vermutlich irgendwie so vorgegangen, vielleicht ein bisschen zu viel Wunschdenken dabei:

Hätte einen Beweis durch Widerspruch probiert. Nehme also an, dass die Folge x_n nicht gegen ξ in dieser Norm konvergiert. Das heißt, es gibt ein ε>0, für alle Folgenglieder k beider Folgen das nie unterschritten wird. Jetzt hätte ich probiert einen Grenzwert ξ zu konstruieren, indem ich annehme, dass (x_1^{1}, x_2^{1}, x_3^{1}...,x_n^{1}, ξ^{1}) gelte. Das Gleiche auch für k = 2, 3, 4,...

Komponentenweise Konvergenz nennt sich das glaub ich, was ich da ausnützen will, um einen Grenzwert zu konstruieren. Nur weiß ich überhaupt nicht ob ich das machen darf? Wahrscheinlich, weil x_n eine Cauchy Folge ist und der Abstand zweier Folgenglieder (also zweier Folgen) immer kleiner werden muss.

Wenn ich das so annehme ist klar, dass meine Cauchy Folge meinem ξ beliebig nahe kommt und in dieser Norm, dann irgendwann kleiner als jede beliebige ε wird. Womit ich meinen Widerspruch zur Annahme hab.

Bitte um Antwort,

Mathstiger

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Ob in \(V\) Konvergenz komponentenweise Konvergenz bedeutet, waere zu untersuchen. Wir sind hier nicht im \(\mathbb{R}^n\). Die Idee, die Grenzfolge \(\left(\xi^{(k)}\right)\) zuerst zu konstruieren, ist gut. Wenn man \(k\) festhaelt, was ist dann \(\left(x_n^{(k)}\right)\)?

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Dann bekommt man für das festgehaltene k von unserer gewählten Cauchy Folge wieder eine Folge oder?

Bei festgehaltenen k folgt dann x_n^{k} = (x_1^{k}, x_2 ^ (k),..., x_n^{k}, ξ^{k}) für ein bestimmtes vorher gewähltes k oder?

Das ist dann eine neu konstruierte Folge. Ist die Frage ob das dann auch eine Cauchy Folge wieder ist? Wahrscheinlich schon. Bitte um weitere Hilfe

LG Mathstiger

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Wenn man \(k\) festhaelt, ist \(\left(x_n^{(k)}\right)\) eine gewoehnliche Folge in \(\mathbb{C}\). Ausserdem ist es auch eine Cauchy-Folge in \(\mathbb{C}\).

(1) Warum?

Jedenfalls existiert deshalb ein \(\xi^{(k)}\in\mathbb{C}\) mit \(\lim_{n\to\infty}x_n^{(k)}=\xi^{(k)}\). Damit haben wir unseren Kandidaten \(\xi\) für den Grenzwert von \((x_n)\) erhalten. Es bleibt noch zu zeigen:

(2) \(\xi\in V\), d.h. die Folge \(\left(\xi^{(k)}\right)\) muss beschraenkt sein.

(3) Es gilt tatsaechlich \(x_n\to\xi\) bzgl. \(\lVert\,\cdot\,\rVert_\infty\), d.h. es muss \(\lim_{n\to\infty}\lVert x_n-\xi\rVert_{\infty}=0\) sein.

Einen Plan hast Du damit. Du musst bloss noch die einzelnen Punkte abarbeiten.

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1.) Wäre (x_n)^{k} keine Cauchy-Folge in ℂ, dann wäre auch unsere gewählte Gesamt-Cauchy Folge in V keine Cauchy Folge mehr. Dann gebe es einen Index k oben, der die Bedingung, dass der Abstand zwischen zwei Folgenglieder kleiner als jedes ε wird, nicht erfüllt. Sprich durch unsere Ausreißerfolge, bekommen wir ein neues sup > 0 der Menge. Glaub ich zumindest, dass es so geht.

2.) Da ξ^{k} eine Cauchy Folge ist, muss die Folge auch beschränkt sein. Der Abstand zweier Folgenglieder von ξ^{k} wird irgendwann beliebig klein, also kann die Folge nicht ins Unendliche weiter wachsen.

3.) Dies muss gelten, da alle Komponenten (bei festgehaltenen k) dann wegen 1.) Cauchy Folgen sind. Im Grenzwert n ->oo nähern sich dann alle ξ^{k} an, sodass alle den Wert von ξ annehmen und der sup von allen Komponenten k, von allen x_n - ξ mit vorgegebener Norm 0 wird.

Gut vor allem das 3.) wird man viel besser formulieren können, nur ich möchte wissen inwieweit ich da auf dem Holzweg bin

LG Mathstiger

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Zu 1): Man haette da gerne ein kurzes direktes Argument basierend auf der Definition des Supremums.

Zu 2): \(\xi\) ist i. Allg. keine Cauchyfolge!

Zu 3): Behaupten kann man viel.

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Oh oke alles falsch, super...

2.Versuch:

(1) Da bei unser gewählten Cauchyfolge, ab einer gewissen Folge das sup {|x_n- x_m |} gegen 0 geht für alle k, muss es erst recht für ein einziges festgewähltes k gelten.

(2) ξ ist beschränkt, weil alle x_n^{k} beschränkt sind, da Cauchy Folgen. (für fest gewähltes k). Also alle ξ^{k} sind beschränkt, damit auch die gesamte Folge ξ.

(3) Da hab ich ehrlich gesagt wenig Plan. ξ^{k} ist der Grenzwert der Folge x_n^{k} bei festgehaltenen k. Da x_n^{k} eine Cauchy Folge ist, folgt, dass für große m der Abstand zweier Folgenglieder beliebig klein wird. Das sup für alle {|x_n^{k} - ξ^{k}|} geht bei großem n gegen 0 dann.

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(2) ξ ist beschränkt, weil alle x_nk beschränkt sind, da Cauchy Folgen.

Wie kommst Du da drauf? Zunaechst mal gilt nur, dass es zu jedem \(k\) eine Konstante \(M_k\) mit \(\left|x_n^{(k)}\right|\le M_k\) für alle \(n\) gibt. Damit ist noch lange nicht gezeigt, dass man auch mit einer von \(k\) unabhaengigen Konstanten auskommen kann. (Es koennte z.B. \(M_k=k\) sein.) Genau das braucht man aber, um die Beschraenktheit von \(\xi\) nachzuweisen. Aus \(\left|x_n^{(k)}\right|\le M\) folgt naemlich durch Grenzuebergang \(\left|\xi^{(k)}\right|\le M\).

Ich geb Dir einen Tipp: \((x_n)\) ist eine Cauchyfolge in \(V\) bzgl. \(\lVert\,\cdot\,\rVert_\infty\). Und Cauchyfolgen sind ja bekanntlich beschraenkt. Also gibt es eine Konstante \(M\) mit \(\lVert x_n\rVert_\infty\le M\) für alle \(n\).

Und bei (3) machst Du den gleichen Fehler. Du nimmst einfach an, dass \(\left|x_n^{(k)}-\xi^{(k)}\right|\) für alle \(k\) beliebig klein wird, wenn man nur \(n\) gross genug macht. Dafuer gibt es erstmal keinen Grund. Die Konvergenz koennte z.B. mit wachsendem \(k\) ohne Ende immer schlechter werden. Ein simples Beispiel dafuer waere \(x_n^{(k)}=k/n\).

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Naja immerhin (1) stimmt, bin ich schon froh. Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen.

(2) Gut, x_n ist eine Cauchyfolge in V bzgl. der vorgegebenen Norm. Da Cauchyfolgen beschränkt sind, gibt es eine Konstante M mit ||x_n||oo≤ M für alle n. Nach Definition der Norm muss dann sup {|x_n|:n∈ℕ} ≤ M gelten für alle Folgen dieser Cauchyfolge. Das heißt für alle n
gibt es eine obere Schranke M, die alle Folgen in dieser Folge bzgl.
der Norm nach oben beschränkt. Im Grenzübergang folgt dann, dass |ξ^k| auch gegen dieses M beschränkt sein muss.

(3) Oke ich bin immer noch äußerst planlos...

Ich muss zeigen: ||x_n-ξ||oo = sup {|x_n^k-ξ^k|: k ∈ ℕ} → 0. Das heißt ich muss zeigen, dass die Abstände irgendwann in jedem Folgenglied k gegen 0 gehen. Ich frag jetzt schon ziemlich verunsichert: Kann ich das über die in (1) bewiesen Eigenschaft machen? Nämlich, dass alle Folgen bei festgehaltenen k Cauchyfolgen sind. Das
heißt im Grenzwertübergang wird der Abstand |x_n^k - ξ^k| beliebig klein für jedes festgehaltene k und damit folgt die zu zeigende Aussage.

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Vielleicht fang ich auch schon einmal an meine Gedanken zu b.) nieder zu schreiben:

1.) Beschränkheit: Gut, das ist find ich klar: Jedes sup einer Folge in dieser Einheitskugel ist beschränkt, nach oben durch 1. Das impliziert aber auch sofort, dass jede Folge beschränkt ist durch 1 und damit auch die ganze Einheitskugel.

2.) Abgeschlossen: Zeigen müsste ich, dass der Grenzwert jede Folge von Folgen wieder in der Einheitskugel liegt. Dann nehm ich einfach eine beliebige Cauchyfolge in der Einheitskugel her. Ich weiß aber, dass alle Folgen in dieser Folge beschränkt. Das heißt jedes einzelnes x_n^k bei festem k und bei festem n, ist sicher nach oben durch 1 beschränkt. Dann konstruiere ich wieder wie in a.) Cauchy-Folgen bei festgewählten k. Im Grenzübergang folgt, dass ξ^k auch beschränkt ist durch 1 und deswegen in der Einheitskugel drinnen liegt.

3.) Nicht folgenkompakt: Da hab ich ehrlicherweise keine Ahnung wie ich auf so ein Gegenbeispiel kommen kann. Ich tu mich da im Moment zu schwer überhaupt eine Folge von Folgen ordentlich vorstellen zu können.

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Da Cauchyfolgen beschränkt sind, gibt es eine Konstante M mit ||xn||oo≤ M für alle n. Nach Definition der Norm muss dann sup {|xn|:n∈ℕ} ≤ M gelten

Nur dass das eben nicht die Definition von \(\lVert x_n\rVert_\infty\) ist. Die lautet ja eben \(\lVert x_n\rVert_\infty:=\sup_{k\in\mathbb{N}}\left|x_n^{(k)}\right|\).

Das heißt im Grenzwertübergang wird der Abstand |xnk - ξk| beliebig klein für jedes festgehaltene k und damit folgt die zu zeigende Aussage. 

Ich hab's Dir oben bereits mit Gegenbeispiel erklaert. Besagter Abstand muss gleichmaessig in \(k\) klein werden, wenn man \(n\) gross macht. Dass er für jedes feste \(k\) mit wachsendem \(n\) klein wird, reicht nicht. Wir betrachten hier abzaehlbar unendlich viele Folgen parallel. Da muss (im Gegensatz zu endlich vielen Folgen) keine am schlechtesten konvergierende Folge dabei sein. Die Konvergenz kann ohne Ende immer schlechter werden. In diesem Falle haette man zwar Konvergenz für jedes feste \(k\), aber keine Konvergenz in der Supremumsnorm.

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Und weiter geht's, bin echt gespannt wann ich das richtig mache.

2.) Gut, xn ist eine Cauchyfolge in V bzgl. der vorgegebenen Norm. Da Cauchyfolgen beschränkt sind, gibt es eine Konstante M mit ||xn||_oo≤ M für alle n. Nach Definition der Norm muss dann sup _k∈ℕ {|x_n^{k}|} ≤ M gelten für alle Folgen dieser Cauchyfolge. Gut das impliziert schon, dass das jeweilige ξ^{k} auch gegen dieses M beschränkt ist.

3.) Ich muss zeigen: ||x_n-ξ||_oo = sup {|x_n^k-ξ^k|: k ∈ ℕ} → 0. Das heißt ich muss zeigen, dass die Abstände irgendwann in jedem Folgenglied k gegen 0 gehen. Und zwar muss der Abstand für jedes k gleichmässig klein werden. Muss man da als Argument vorbringen, dass alle Folgen x_n^{k} für alle k∈ℕ gegen M beschränkt sind. Und dadurch, dass sie Cauchy Folgen sind, werden sie alle gleich alle gegen dieses M klein genug. (Ja ich weiß. ich hab schon wieder dieses Argument gebracht, nur ich weiß bald nicht mehr, was ich noch sagen kann)

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Hast Du jetzt eigentlich das Gegenbeispiel zu Deiner Argumentation für (3) \(x_n^{(k)}=k/n\) studiert und verstanden? Fuer jedes feste \(k\) gilt \(\lim_{n\to\infty}x_n^{(k)}=0\), aber es gibt kein \(N\), so dass \(\left|x_n^{(k)}\right|<\varepsilon\) für \(n>N\) und alle \(k\), denn es muss dafuer ja \(n>N:=k/\varepsilon\) gelten. Wenn \(k\) nur aus einer endlichen Menge waere, koenntest Du Dich am groesstmoeglichen Wert \(k_{\text{max}}\) orientieren und \(n>N:=k_{\text{max}}/\varepsilon\) nehmen. Es ist aber \(k\in\mathbb{N}\) bei der Aufgabe hier. Anders gesagt: Im Raum aller Folgen mit Supremumsnorm folgt aus komponentenweiser Konvergenz keine Konvergenz in der Norm. Dass es im Raum aller beschraenkten Folgen aber stimmt, ist explizit zu zeigen. Du musst dazu ein \(N\) angeben koennen, dass unabhaengig von \(k\) ist.

Bei Teil (2) ist das Problem das Gleiche.

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Frustrierend, dass ich so rein gar nichts schaffe und auch ehrlicherweise nicht alles verstehe... Wie kommst du zum Beispiel darauf, dass im Gegenbeispiel N = k/ε gelten muss?

(2): Du hast mir als Tipp gegeben: x_n ist eine Cauchyfolge in V bzgl. der vorgegebenen Norm. Da Cauchyfolgen beschränkt sind, gibt es eine Konstante M mit ||x_n||_oo≤ M für alle n. Nach Definition der Norm muss dann sup _k∈ℕ {|x_n^k|} ≤ M gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass das sup für alle festen k der Menge {|x₁^k|, |x₂^k|, |x₃^k|,...,|ξ^k|} ≤ M ist, oder? Stimmt das soweit?

(3) Kannst du mir bitte zeigen, wie man das angeht ein N zu finden? Ich muss also mit der Folgen-Definition arbeiten: Für alle ε>0 gibt es ein N aus ℕ, sodass für alle n>N und alle k∈ℕ: |x_n^k - ξ|< ε gilt. Kann man da irgendwas per Widerspruch machen? Ich hab keine Ahnung mehr, was ich machen soll?

Tut mir leid, aber bitte hilf mir nochmal ein bisschen

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Du Lösung zu dem Problem ist doch von Anfang an in die Aufgabe eingebaut: \(V\) ist der Raum der Folgen mit endlicher Supremumsnorm (also der beschraenkten Folgen). Muss man bloss auch merken und benutzen.

Wenn \((x_n)\) eine Cauchy-Folge in \(V\) ist, dann hat man zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(N\), sodass für \(m,n>N\) gilt: \(\lVert x_m-x_n\rVert_\infty<\varepsilon\). Nach Definition der Supremumsnorm gilt dann auch \(\left|x_n^{(k)}-x_m^{(k)}\right|<\varepsilon\) für \(m,n>N\) und alle \(k\). Man kann also für alle \(k\) dasselbe \(N\) nehmen; es haengt nur von \(\varepsilon\) ab.

Analog bei der Beschraenktheit: \(\left|x_n^{(k)}\right|\le\lVert x_n\rVert_\infty\le M\). Das gilt so für alle \(n\) und alle \(k\) mit ein und demselben \(M\).

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So einfach eigentlich, wenn man es könnte...

Gut zur Zusammenfassung:

Um zu zeigen, dass der Raum V mit der Supremumsnorm vollständig ist, muss ich eine beliebige Cauchy Folge hernehmen und zeigen, dass diese konvergiert.

Sei (x_n) eine beliebige Cauchy Folge in V. (x_n) := (x₁^(k), x₂^(k), x₃^(k)... x_n^(k)...)

Zu zeigen ist die Existenz einer Grenzfolge ξ^{k} in der Supremumsnorm. Wenn man k festhält, dann ist (x₁^(k), x₂^(k), x₃^(k)... x_n^(k)...) eine normale Cauchy Folge in ℂ. Warum ist das so? Weil bei unser gewählten Cauchyfolge (x_n), ab einer gewissen Folge das sup {|x_n- x_m|} gegen 0 geht für alle k, muss es erst recht für ein einziges festgewähltes k gelten. Dadurch erhalten wir einen Kandidaten für unseren Grenzwert ξ^{k}

Es bleibt noch zu zeigen, dass ξ aus V ist und dass die Folge xn auch tatsächlich gegen ξ konvergiert bzgl. der Supremumsnorm.

Beschränktheit: x_n ist eine Cauchyfolge in V bzgl. der vorgegebenen Norm. Da Cauchyfolgen beschränkt sind, gibt es eine Konstante M mit ||x_n||_oo≤ M für alle n. Nach Definition der Supremumsnorm gilt das dann auch für alle k aus N. Sprich man kann das für alle ein und dasselbe M wählen.

Grenzwert: x_n ist eine Cauchyfolge in V, dann hat man zu jedem ε>0 ein N, sodass für m,n > N gilt: ||x_m-x_n||_oo < ε. Nach Definition der Supremumsnorm gilt das dann auch für alle k. Man wählt also für alle k dasselbe N. Im Grenzübergang folgt, dann das ||x_n^{k}-ξ^{k}||_oo < ε.

Passts in etwa so?

(Es gibt ja auch noch ein b.)...)

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Deine "Zusammenfassung" ist konfus, unvollstaendig und an etlichen Stellen schlicht falsch. Die Sache beginnt, sich im Kreise zu drehen, und mir faellt nichts Neues mehr ein.

Zu b): \(B_1(0)\) so wie angegeben ist in jedem normierten Raum beschraenkt und abgeschlossen. Da brauchst Du Dich nicht mit Folgen von Folgen zu verkuensteln. Beim Gegenbeispiel zur Kompaktheit allerdings schon.

Was in der Aufgabe schlicht \(V\) heisst, ist in der Literatur als \(\ell^\infty\) bekannt. Schau in Lehrbuecher oder probiere eine Suchmaschine.

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Seufz tut mir leid, dass ich dich so genervt hab. Danke für die Hilfe, ich werd noch einmal das Ganze besser zusammenfassen, weil im Grunde hast du mir eh alles gesagt was zu sagen ist.

LG und Danke für die Mühe

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Und nein wir hatten nie einen Satz wie: B1(0) so wie angegeben ist in jedem normierten Raum beschraenkt und abgeschlossen. Also spiel ich das weiter....