Dimension und Unterraum bei Folgenraum

Question

Aufgabe: Wir betrachten den R-Vektorraum aller reellen Folgen $$V = \left\{f : \mathbb{N} → \mathbb{R} \right\}$$ und $$U := \left\{f :\mathbb{N} → \mathbb{R} : f(n+2) = f(n+1)+f(n), \forall n ∈ N\right \}$$
(a) Zeigen Sie: U ist ein Untervektorraum von V.

(b) Zeigen Sie, dass U zwei-dimensional ist.

Mir ist bekannt, dass man einen Untervektorraum zeigt, indem man die Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation zeigen muss und ebenso, dass U eine nicht-leere Menge darstellt. Ich habe aber Probleme, das im Bezug auf eine Folge durchzuführen, wie auch eine Dimension hierzu zu finden. Ich bedanke mich für jede Antwort. ;)

Answer 1

Hallo

 es ist fast nur Schreibarbeit: wenn f der Gleichung genügt und g, tut es dann auch h=f+g? und tut es auch r*f?.

Dimension: die Folgen sind durch f(0) und f(1) eindeutig bestimmt (oder wenn ihr bei 1 anfangt durch f(1)und f(2) als Vektor geschrieben also (f(0),f(1)), alle z. B, b(0)=1, b(1)=0 und b(0)=0 und b(1)=1

 dann kannst du alle  Folgen durch r*b(0)+s*b(1) beschreiben.

Gruß lul

Comments

Ich bedanke mich für deine Hilfe. Ich frage mich aber, wie genau man zeigt, dass alle Folgen durch $$r \cdot b(0)+s \cdot b(1)$$ beschrieben werden können? Und ist dieser Term auch die Basis, die ausreichend für das Lösen von Aufgabe (b) ist?

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Hallo

 ich hatte doch geschrieben, dass f(0) und f(1) die Folge vollständig bestimmen,  also legen  die Linearkombinationen dieser Anfänge alle Folgen in dem UR fest. also bestimme die 2 Folgen b1 und b2 die durch diese Anfangswerte bestimmt sind, und zeige, dass man damit jede andere erzeugen kann, dann hast du eine Basis.

Gruß lul

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Zu zeigen, dass zwei Folgen durch die f(0) und f(1) bestimmt sind, ist trivial. Aber wie zeigt man denn, dass damit jede Folge bestimmt wird. Also wie würdest Du zeigen, dass man jede Folge mit Hilfe von r b(0) + sb(0) erzeugen kann? Der Weg wird mir nicht klar.

P.S.: Wieso ist ,,r b(0)" nötig? Mit b(0) = 0 ist es gar nicht nötig zur Berechnung jeder zu bestimmende Zahl der Fibonacci-Folge, oder?