Fibonacci Folge mit Abbildung

Question

Aufgabe:

Die Fibonacci-Folge (a_n) ist durch die Anfangswerte a₀ = a₁ = 1 und die Rekursionsformel
a_n+1 = a_n + a_n−1 für alle n ∈ N (*)
gegeben. Sei V ⊆ Abb(N; R) der Unterraum aller Zahlenfolgen, die die Rekursion (*) erfüllen.
a) Für welche q ∈ R liegt die Folge (qⁿ)n∈N = (1, q, q², q³,...) in V?
b) Zeigen Sie, dass dimV = 2 gilt und geben Sie eine Basis von V an.

Problem/Ansatz:

kann mir jemand helfen wie man an diese aufgabe herangehen muss? Ich verstehe vor allem den Teil mit V nicht und wie ich mir das vorzustellen habe...

Answer 1

a)

a(n+1) = a(n-1) + a(n)

q^3 = q + q^2 --> q = 1/2 - √5/2 ∨ q = 1/2 + √5/2 ( ∨ q = 0)

Comments

Vorzügliches Beispiel für eine Antwort, die den Fragesteller nicht aus seiner Verantwortung für eine konstruktive Mitarbeit entlässt.

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Danke erstmal für die Antwort! Hat mir beim Verständnis für V schon mal geholfen!

Das es erfüllt ist, wenn q=0 ist, ist natürlich direkt zu erkennen. Aber wie kommst du auf die beiden anderen Lösungen? Wenn man es umschreibt hat man ja q= q³-q²  

^{Wie kommt man da dann auf die beiden anderen Lösungen?}

ah ok, ich glaube ich habs

0=q²  -q-1 und dann pq formel drauf

müsste es dann aber nicht √5/4 sein?

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√(5/4) = √5/2

Beachte das die 2 nicht mit unter der Wurzel steht.

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Das es erfüllt ist, wenn q=0 ist, ist natürlich direkt zu erkennen.

Ist das wirklich einfach zu erkennen? Sicher erfüllt q = 0 die Lösung der Gleichung. Erfüllt 0 aber auch den Sachkontext der Aufgabe?

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ah stimmt, ja, das ist der nachteil vom notieren hier dass man genau auf jede kleinigkeit achten muss, danke dir für die antwort!

das einzige was mich noch verwirrt bei der aufgabe ist, dass in der aufgabenstellung die natürlichen zahlen N einmal ohne 0 definiert sein müssen (sonst hätten wir ja bei a_n-1  = a_-1 und das ist gar nicht definiert), dann aber in der Folge qⁿ  die natürlichen Zahlen N mit 0 definiert sind, da ansonsten 1 nicht teil der folge wäre. Dadurch, dass 1 teil der Folge ist, kann q ja auch nicht 0 sein, da ansonsten 0²=0+1 nicht erfüllt wird. ist ein bisschen verwirrend formuliert glaube ich.

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 "√(5/4) = √5/2

Beachte, dass die 2 nicht mit unter der Wurzel steht.

Kommentiert vor 7 Stunden von Der_Mathecoach "

Eine recht bekannte Webside für Mathematik hat mehrere Möglichkeiten (auch Latex)

zur Eingabe,

Leider ist das bei dieser Seite nicht so möglich.

Ich möchte die Seite nicht nennen. Vielleicht liegt da ein Patent vor.

mfG

Moliets

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@T : Ich hoffe, dass du meinen obigen Kommentar richtig interpretiert hast.

MC hat eine notwendige Bedingung für q entwickelt. Der Nachweis, dass sie auch hinreichend ist, steht noch aus.

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Das hatten wir tatsächlich noch nicht so genau mit bedingungen, aber ich gehe davon aus dass du darauf hinaus willst, dass man beweist, dass die herausgefunden q für alle n ∈ N die rekursion erfüllen (über induktion)?

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beweist, dass die herausgefunden q für alle n ∈ N die rekursion erfüllen

Genau das muss noch gemacht werden.
Induktion ist eine Möglichkeit, man kann aber auch einfacher das Vorgehen von MC verallgemeinern (weswegen ich das Beispiel vorzüglich nannte).

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Ja, fand die Antwort auch sehr gut.

Hätte aber noch eine Frage zur b.

und zwar soll man ja eine basis angeben. also muss man zwei bel. x,y ∈ V nehmen, die die rekusion erfüllen und linear unabhängig sind. also λ₁ * x + λ₂ * y = 0. nun sind x,y ja folgen aber wie rechne ich dann die lineare unabhängigkeit aus? wir hatten das bisher immer nur für vektoren gemacht? sieht man dann die folge als vektor an und betrachtet deren einzelne Folgenglieder als "eintrag des vektors"?

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So ist es.

Einfachstes Vorgehen :

1. Rate eine Dimension (hast du schon gemacht, ist übrigens richtig geraten)
2. Rate eine Basis (beachte, dass die ganze Folge bereits durch ihre ersten zwei Glieder bestimmt ist)
3. Weise nach, dass diese beiden geratenen Folgen ein minimales Erzeugendensystem bilden.

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Sind dann die Folgen linear Abhängig oder unabhängig.

Die Antwort darauf dürfte für den FS herzlich uninteressant sein.

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Danke, dass einzige was ich mich jetzt noch frage ist, wie man formal beweisen würde, dass die dimension von V 2 ist. Würde es da reichen, einfach zu sagen, dass die rekursive folge ja nur von den ersten beiden folgengliedern abhängt und damit die dimension von V 2 sein muss oder wie würde man das machen?

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Indem man nachweist (Methode habe ich oben angedeutet), dass es eine Basis mit zwei Elementen gibt.