ungleichung n^3 > 5n^2 + 20n+3

Question

ich häng gerade an folgender Aufgabe fest:

Finden Sie eine Zahl n0 ∈ ℕ, sodass n^3 > 5n^2 + 20n+3 für alle n≥ n0. Beweisen Sie, dass die von Ihnen gefundene Zahl n0 die gewünschte Eigenschaft besitzt.

Ich bin dabei zurzeit so vorgegangen, ich hab das Polynom n^3 - 5n^2 - 20n- 3 = 0 gesetzt und dann nach einer natürlichen Nullstelle n0 gesucht. Hab aber keine gefunden.

Würde mich über Vorschläge deshalb freuen:)

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Als Einzeiler ohne Induktion:
Es ist \(n^3-5n^2-20n-3=(n-8)^3+19(n-8)^2+92(n-8)+29>0\) für alle \(n\ge8\).

Answer 1

n = 8 wäre die erste Zahl für die es gilt. Dann kann man vollständige Induktion machen.

Answer 2

Ich bin dabei zurzeit so vorgegangen, ich hab das Polynom n^3 - 5n^2 - 20n- 3 = 0 gesetzt und dann nach einer natürlichen Nullstelle n0 gesucht. Hab aber keine gefunden.

Gibt auch keine, danach war aber nicht gefragt.

Probier doch mal n=1000. Der Rest geht z.B mit vollständiger Induktion

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Also der Induktionsanfang mit n=1000:

1000³ > 5 000 000 + 20 000 + 3

Ist erfüllt.

Induktionsvoraussetzung(IV):

Es gilt also eine Zahl n∈ N, sodass n^3 > 5n^2 + 20n+3 gilt.

Induktionsschritt: n-> n+1

5(n+1)^2+20(n+1) + 3 <(n+1)^3

Also gilt die Aussage für alle n∈N.

Hast du vielleicht eine Idee, wie der Induktionsschritt korrekt sein könnte:^)

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Induktionsanfang ist ok

Induktionschritt geht wie folgt:

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1> 5n^2 + 20n + 3 +3n^2+3n+1 gemäß Induktionsvorausetzung

=8n^2+23n+4

> 5n^2+30n+28  (i)

=5(n+1)^{2} + 20(n+1)+3

Die letzte Ungleichung  (i) ist nach Umformungen äquivalent zu

n(3n-7)>24, was für n>=1000 aber sicher erfüllt ist.

Answer 3

Finden Sie eine Zahl n0 ∈ ℕ, sodass n^3 > 5n^2 + 20n+3 für alle n≥ n0. Beweisen Sie, dass die von Ihnen gefundene Zahl n0 die gewünschte Eigenschaft besitzt.

Du sollst also nur eine Zahl n0 angeben für die die
Ausage stimmt

n0 = 10
1000 > 500 + 200 + 3

finito.

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Text nicht gelesen?

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Du sollst also nur eine Zahl n0 angeben für die die Ausage stimmt
n0 = 10
1000 > 500 + 200 + 3
finito.

Das ist eine Entstellung der Aufgabe!

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Was nicht passt, wird passend gemacht ;)

Answer 4

n_o=10 reicht wohl auch schon.

Denn 10^3 = 1000

und  5*10^2  + 20*10+3 = 703 < 1000.

Wenn es für n>10 gilt, dann auch für n+1 zeigt man z.B. so:

(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1

             > 5n^2 + 20n+3 + 3n^2 + 3n + 1

             = 8n^2 + 23n + 4

             = 5n^2 + 10n + 5 + 3n^2 + 13n  - 1

             = 5(n+1)^2 +  3n^2 + 13n  - 1  und wegen n>10 ist n^2 > 10n also

             >  5(n+1)^2 +  10n + 13n  - 1

            =     5(n+1)^2 +  20n +  3n  - 1   und wegen n>10 ist 3n > 30

            >     5(n+1)^2 +  20n +  30  - 1

            =   5(n+1)^2 +  20n +  29

             =   5(n+1)^2 +  20n +  20  + 9

               =  5(n+1)^2 +  20(n + 1) +  9

              =  5(n+1)^2 +  20(n + 1) +  3    q.e.d.

             

Answer 5

  Ein typischer Fall für die allseits geschmähte Nonstandard Analysis ( NSA ; IST )  von ===>  Edward Nelson, vo der ich ein absoluter Fan bin.

   Lehrbuch von Alain Robert bei dem international renommierten Verlag Wiley;  neueste Ausgabe selbstverständlich bei Amazon.

   Ich erkläre mich bereit, euch als Nachhilfelehrer alle Fragen zu NSA zu beantworten, die ihr mit Sicherheit habt.

      NSA ist " case sensitive "  ; wann immer wir NSA treiben, treffen wir folgende Verabredungen:

   1) Eine Variable " Klein a "  darf nur dann als " Groß A " notiert werden, wenn ihr Wertebereich ausdrücklich auf standardwerte eingeschränkt wird.

   2) Inf(initesimale)  Größen sind mit griechischen Buchstaben zu notieren.

    Betrachten wir die Folge

                                 5 n ² + 20 n + 3

       A  <  n  >  :=    -----------------------------     (  1  )

                                          n  ³

      A < n >  ist Nullfolge ( Nennergrad > Zählergrad )  Nach dem ===> Robinsonlemma gilt für alle Nonstandard n

          A  (  n  )  =  €  =  inf          (  2a  )

    Wir haben hier einen Entartungsfall der cartesischen Vorzeichenregel vor uns; da der Zähler von ( 1 ) nur positive Terme enthält,  kann er auf |N  sowieso nie Null oder gar negativ werden.

   Wäre in ( 1 )   der Nenner n ³  gleich oder sogar kleiner als der Zähler , so wäre  in  ( 2 )

     A  (  n  )  >  =  1            (  2b  )

     im Widespruch zu ( 2a )

    (E)  n  |   n  ³  >   5 n ² + 20 n + 3    (  3a  )

    Dieses n in ( 3a )  ist zunächst fantastisch riesig; liegt " jenseits des Ereignishorizonts "  Hier greift der typische ===>  Transfer Schluss der NSA

    "  Jedes Standardproblem. das überhaupt lösbar ist, besitzt auch eine Standardlösung. "

     (E)   N   |  N  ³  >  ....        (  3b  )