Ungleichung mit Brüchen lösen

Question

Bestimmen sie die reellen Lösungen der Ungleichungen:

x-2         2x-3

___  ≥   ____

x+2       4x-1

Comments

Was meinst du mit "Ungleichungen"?

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Naja. Vielleicht waren das mehrere a), b), c) ...

und er hat nur mal eine davon aufgeschrieben um den Rest dann alleine zu probieren.

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Tipp: Für \(x\in\mathbb R\setminus\left\lbrace-2,\frac14\right\rbrace\) ist \(\dfrac{x-2}{x+2}\ge\dfrac{2x-3}{4x-1}\) äquivalent zu
\((4x-1)^2(x+2)(x-2)\ge(x+2)^2(4x-1)(2x-3)\Leftrightarrow(x+2)(x-\frac14)(x-1)(x-4)\ge0\).

Answer 1

(x - 2)/(x + 2) ≥ (2·x - 3)/(4·x - 1)

Mache eine Fallunterscheidung

Fall 1: x < -2

Fall 2: -2 < x < 1/4

Fall 3: x > 1/4

Ich komme damit auf die Lösungen

(x < -2) ∨ (0.25 < x ≤ 1) ∨ (x ≥ 4)

Comments

Ich mache mal Fall 1:

(x - 2)/(x + 2) ≥ (2·x - 3)/(4·x - 1)

4·x^2 - 9·x + 2 ≥ 2·x^2 + x - 6

4·x^2 - 9·x + 2 ≥ 2·x^2 + x - 6

2·x^2 - 10·x + 8 ≥ 0

x ≤ 1 ∨ x ≥ 4

Für Fall 1 gilt also x < -2

Warum wird Fall 3 nicht groß anders sein und die Lösung Fall 3: x ≥ 4 lauten

Answer 2

( x-2) / (x+2) ≥  (2x-3) / (4x-1)

1. Fall  x<-2 .  Da sind beide Nenner negativ, wenn du mit

(x+2)*(4x-1) multiplizierst, bleibt das ≥ erhalten

(x-2)(4x-1)  ≥  (2x-3)(x+2)

2x^2 - 10x + 8 ≥ 0

x^2 - 5x + 3 ≥ 0

(x-4)*(x-1)  ≥ 0

x≥ 4  oder   x ≤ 1    wegen  x<-2  also

hier die Lösungsmenge  alle mit    x ≤ 1   .

2. Fall  x>-2  und  x < 1/4    Da haben beide Nenner verschiedene Vorzeichen,

also   wenn du mit (x+2)*(4x-1) multiplizierst, gibt es ≤.

x^2 - 5x + 3  ≤  0

(x-4)*(x-1)  ≤ 0  . Das gilt zwischen 1 und 4, wegen

  x>-2  und  x < 1/4  also hier die Lösungsmenge leer.

3. Fall x>1/4 . Da sind beide Nenner positiv, also

gibt es wieder:  x≥ 4  oder   x ≤ 1  also Lösungen hier

von  1/4 bis 1 und alles mit  ≥ 4 .

optisch: Wo läuft der blaue Graph oberhalb vom roten ?

~plot~ ( x-2) / (x+2) ;  (2x-3) / (4x-1)  ~plot~