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Sei x eine reelle Zahl. Für alle n ∈ ℕ und alle k ∈ {0,...,n} setze

Ak (n) =ei(k/n)x

sodass Ak (n) ein Punkt auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene ist.

Bezeichne Ln die Länge des Polygonzugs A0(n) ,...,An(n) ,

d.h.

Ln =∑n k=1 |Ak (n) - Ak-1 (n) |


Zu zeigen:

(a) Ln 02n|sin(x/(2n))| für alle n ∈ℕ

(b) limn→∞ Ln =|x|

(c) Ich soll eine geometrische Interpretation im Fall x=2π angeben

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Die Formel für \(L_n\) ist angegeben. Fuer \(A_k^{(n)}\) stehen ebenfalls Formeln da. Einsetzen und ausrechnen lautet die Devise!

Hallo

 zeichne das doch mal für irgendein nicht zu kleines x und für x=2po

gruß lul

1 Antwort

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   Das ist reine Akrobatik, aus der du hoffentlich bissele Technik lernst. Einen tieferen Sinn vermag ich dahinter nicht zu erkennen. Wir gehen aus von der Euleridentität


      exp  (  +  i  ß  )  =  cos  (  ß  )  +  i  sin  (  ß  )   |  kk    (  1a  )


      "  kk  " bedeutet  " komplex konjugiert  "


      exp  (  -  i  ß  )  =  cos  (  ß  )  -  i  sin  (  ß  )        (  1b  )

     Rein formal juristisch stellen ( 1ab ) ein LGS in den beiden Unbekannten Sinus und Kosinus dar; das Subtraktionsverfahren ( 1a ) - ( 1b )  führt auf eine Identität, die du im Bronstein findest:


    sin  (  ß  )  = ( 1 / 2 i )  [  exp  (  +  i  ß  )  -  exp  (  -  i  ß  )  ]    (  2  )

   In Teilaufgabe a) hast du glaub ich einen Schreibfehler; da soll " = " stehen und nicht " 0 "     Wie sind die Guidelines; dürft ihr keine Original Aufgabenblätter hochladen?

   Hier das ist doch ein Regel mäßiges n-Eck; was gibt  A_k (n) - A_k-1 (n)   ?


 A_k ( n ) - A_k-1 ( n ) = exp  i k x / n  - exp  i ( k - 1 ) x / n ( 3a )


    Jetzt kommt ein alter Verbrechertrick ins Spiel; als Schüler erfand ich den Witz

   " Immer wenn es verschiedene Ansichten gibt, ziehen wir aus allen Meinungen das geometrische Mittel .. "

      Genau so hier; das  Geomittel der beiden e-Funktionen in ( 3a ) wird


      m  =  exp  i  (  k  -  1/2  )  x / n       (  3b  )

      |  m  |  =  1      (  3c  )


    Wenn du dieses m ausklammerst  in ( 3a ) , bleibt übrig


   A_k ( n ) - A_k-1 ( n ) = m [ exp ( + i x / 2 n ) - exp ( - i x / 2 n ) ]    (  4a  )


    Im nächsten Schritt fallen uns gewisse nicht zu bestreitende Ähnlichkeiten auf zwischen der eckigen Klammer in in ( 4a ) einerseits so wie dem Sinusausdruck ( 2 ) andererseits:


    A_k ( n ) - A_k-1 ( n )  =  2  i  m  sin  (  x / 2 n )     (  4b  )

  | A_k ( n ) - A_k-1 ( n )  | = 2 |  sin  (  x / 2 n )  |     (  4c  )


    Der Faktor n aus dem Aufgabenblatt, der uns noch fehlt, spiegelt die Anzahl Summanden wieder.

   Machen wir gleich die c) ; die anschauliche Interpretation; Im Falle x = 2 Pi gibt dir L ( n ) den Umfang des Regel mäßigen n-Ecks;  für x < 2 Pi ist das ja nur ein unvollendetes Gebilde, das einen Winkel von x überspannt.

    Und jetzt die b); gesucht der Grenzwert



        lim             2  n   |  sin  (  x / 2 n )  |          (  5a  )

   n ===> ( °° )


      Jetzt kommt etwas typisch Matematisches; eine Fallunterscheidung. ( Mit dem Mathe Studienabschluss hast du nur die aller besten Berufsaussichten - nicht weil du irgendwelche Beweise drauf hast,  sondern weil du FALLUNTERSCHEIDUNG kannst. Kam im Telekolleg; mein Chef hat das übrigens auch gesagt. )

     Fall 1; x = 0  Wir haben eine Nullfolge; trivial . ( Die Figur ist ausgeartet. )

   Fall 2 ;   x > 0   ( Entgegen dem Aufgabentext scheint mir der Fall x < 0 nicht Sinn voll.  Es ist wirklich nur die ===> Orientierung einer orientierbaren ===> Mannigfaltigkeit )

    Hier hilft ein Zaubertrick weiter, der mich schon aus ganz anderen Kalamitäten gerettet hat; die ===> Inversion


       z  :=  1 / n         (  5b  )

    F ( n ) := 2  n  |  sin  (  x / 2 n )  |    =    (  5c  )

    = F ( z ) =  ( 2 / z )  sin  ( x z / 2 )     (  5d  )


     z geht ja jetzt gegen Null.  Da das Argument von Sinus positiv ( und klein ) ist,  ist der Sinus gleich seinem Betrag, also Plus.  Was in ( 5d ) steht, ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ )  der Funktion


       f  (  z  )  :=  2  sin  (  x  z / 2 )       (  6a  )


      genommen zwischen  z0 = 0  und der beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend, weil der Sinus von z = 0 verschwindet.  Und der Grenzwert von ( 5d ) ist offensichtlich die Ableitung f ' ( 0 )


       f  '  (  z  )  =   ( 2 x / 2 ) cos  (  x  z / 2 )     (  6b  )

        f  '  (  0  )  =  x       (  6c  )


     formal mag man einwenden, dass die Betragsfunktion gerade bei z = 0 nicht differenzierbar ist; wenn jedoch n gegen ( + °° )  geht, müssen wir auch verlangen z ===>  ( + 0  )  -  wir bilden gewisser Maßen nur die rechtsseitige Ableitung.

   Ja für n ===> ( °° ) geht das n-Eck natürlich gegen den Kreis; die Interpretation war ja für x = 2 Pi zu geben. Und der Kreisumfang beträgt dann x = 2 Pi.

   Hier wer kennt noch diese Szene aus der Sesamstraße, wo Ernie wie üblich seinen Kumpel Bert am einschlafen hindert

   " I wonder whether a circle has got zero corners or very very many ... "

    Ein Kommentator tat mal sehr empört

   " Sag mal; wozu lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn man so  Grenzwerte durch transformation des Definitionsbereichs lösen kann? "

Avatar von 5,5 k

  Najaa; wenn man den Kreis als ===> konvexe Menge auffasst,  dann ist sein Rand gerade nicht konvex.  D.h. nach der Definition sind all die ( überabzählbar ) unendlich vielen Randpunkte ===> Ecken des Kreises.

   Aber vielleicht ist diese Aufgabe so dumm nun auch wieder nicht;  schon oft musste ich fest stellen, dass man bei Anwendung komplexer Algebra ( Es handelt sich hier weit eher um Algebra als Analysis )  die Geometrie quasi mit Zirkel und Lineal konstruiert. Nicht zu reden von den Interferenzmetoden in der Optik so wie QM.

   Aber einen  abschließenden Punkt hätte ich noch. Auf einem Witzportal für Mathewitze fand ich nur zwei, die mir erwähnenswert scheinen.

    1) Der absolute Brüller; alle natürlichen Zahlen sind gleich - Beweis durch Induktion und

    2) Die e-Funktion ist identisch konstant.

   Tematisch passt leider nur Nr. 2 hier rein. Folgende Aussage notiere ich mit Quantoren


    (V)  x  €  |R  (E)  y  =  y  (  x  )   |   x  =  2  Pi  y   |  *  i    (  2.1  ) 


    Wehe, wer da widerspricht ...

   " Zu jedem x finde ich ein passendes y ,  so  dass diese Pi-Identität ( 2.1 ) "

   Die Umformung habe ich wie üblich vermerkt.


        i  x  =  2  Pi  i  y     |    exp     (  2.2  )  

      exp  (  i  x  )  =  exp  (  2  Pi  i  y  )        (  2.3a  )

                           =  [  exp  (  2  Pi  i  )  ]  ^  y    (  2.3b  )

       (V)  x  |     exp  (  i  x  )  =  1  ^   y  =  1    (  2.3c  )


    Entsinnen wir uns ;  x war beliebig voraus gesetzt in ( 2.1 )  Für alle x folgt exp ( i x ) = 1 ===> die e-Funktion ist konstant.

   Habichdochgesagthabichdochgesagthabichdochgesagt ...

                

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