Es seien U1 und U2 Unterräume des Vektorraums V. Ferner sei auch U1 ∪ U2 ein Unterraum von V.
Zeigen Sie, dass dann U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 gilt.
Im Allgemeinen ist ja U1 ∪ U2 kein Unterraum von V, weil z.B. die Summe zweier Elemente nicht
immer wieder darin ist. Etwa alle (x,0) mit x∈ℝ bilden einen Unterraum von ℝ^2 und
alle (0,x) mit x∈ℝ bilden einen Unterraum von ℝ^2 , aber sowas wie (1;1) ist nicht drin, müsste
es aber als Summe von (1;0) und (0;1).
Versuche mal: indirekten Beweis. Es sei weder U1 ⊆ U2 noch U2 ⊆ U1 . Dann gibt es ein
y , das in U1 und nicht in U2 ist und ein x , das nicht in U1 aber in U2 ist .
Betrachte jetzt die Summe: wäre sie in U1 ∪ U2 , dann müsste sie in U1 oder in U2 sein.
Daraus kann man einen Widerspruch herleiten:
Wäre x+y in U1, dann (weil y∈U1, also auch -y ∈ U1) wäre auch (x+y) + (-y) = x in U1
im Widerspruch zur Annahme: x ∉ U1.
Entsprechend führst du auch x+y in U2 ad Absurdum.
Damit ist x+y ∉ U1 ∪ U2 im Widerspruch zur Annahme, dass dies ein Unterraum sei.
