Hi,
zu 1)
also \( \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \) gehört zur ersten Menge, da \( 0^2+0^2=0 \) Also ist die Menge nicht leer. Wenn \( x^2+y^2=0 \) gilt und \( u^2+v^2=0 \) gilt, gilt auch \( x=y=u=v=0 \) und somit auch \( (x+u)^2+(y+v)^2=0 \). Und \( (\alpha x)^2+(\alpha y)^2=0 \) wenn \( x^2+y^2=0 \) gilt. Der Untervektorraum hat aber nur ein Element, nämlich das 0 Element.
Zu 2)
Ich nehme an p(x) ist ein Polynom \( \in \mathbb R \) vom Grade n. Dann hat p(x) die Darstellung \( p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \) Die Menge aller reellen Polynome vom Grade n mit p(1)=0 ist nicht leer, da das Polynom mit den Koeffizienten \( a_k=0 \) für k=0..n in dieser Menge liegt. Sind p(x) und q(x) zwei Polynome mit p(1)=0 und q(1)=0 dann gilt für die Summe \( p(x)+q(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k+\sum_{k=0}^nb_kx^k \) und da \( p(1)=\sum_{k=0}^na_k=0 \) und \( q(1)=\sum_{k=0}^nb_k=0 \) gilt, folgt \( p(1)+q(1)=\sum_{k=0}^na_k+\sum_{k=0}^na_k=0 \) und deswegen liegt die Summe der Polynome ebenfalls in der Menge. Ähnlich geht es für die skalare Multiplikation. Alos ist der Raum ein Untervektorraum.
Zu 3)
Nehme zwei Polynome p(x) und q(x) mit p(0)=1 und q(0)=1
Mit den Bezeichnungen von oben folgt \( p(0)=a_0=1 \) und \( q(0)=b_0=1 \) Deshalb ist \( p(0)+q(0)=2 \ne 1 \) Also liegt die Summe nicht in der Menge und somit ist die Menge auch kein Untervektorraum.
